Definiciones fundamentales

No obstante, antes de avanzar en los casos que pueden servir de ejemplo a la operación de multiplicación de un polinomio por un monomio, quizás sea bueno revisar algunas definiciones, totalmente necesarias para entender la naturaleza de las expresiones algebraicas involucradas, así como los elementos y operaciones que les son concernientes. A continuación, algunas de ellas:

Monomio

En primer lugar, quizás se deba empezar por recordar la definición de monomio, el cual es entendido por el Álgebra como una expresión algebraica elemental, constituida por la combinación de elementos abstractos numéricos y no numéricos, entre los que sólo es posible la multiplicación, quedando exentas todas las otras operaciones. Así mismo, esta disciplina matemática señala que otra de las condiciones indispensables para que un término algebraico pueda ser considerado un monomio es el contar, siempre y en toda ocasión, con literales elevados a exponentes enteros y positivos. De igual forma, dentro del monomio se pueden distinguir cuatro elementos básicos:

• Signo: es el primer elemento que puede distinguirse de izquierda a derecha. Su función es acompañar al elemento numérico, señalando su naturaleza.
• Coeficiente: por su parte, el coeficiente está constituido por el elemento numérico del término. Cumple con la misión de indicar cuál es la cantidad por la que debe ser multiplicada la variable.
• Literal: es el elemento abstracto no numérico del término. Está constituido por una letra, cuya principal función es indicar cuál es la cantidad por la que debe multiplicarse la variable.
• Grado: este elemento será equivalente al valor observado en la variable, o en caso de que el término cuente con varias variable, pues el total obtenido en base a la suma de sus exponentes. En cuanto a su función, por lo general, el Grado es usado como un elemento guía, que permite entonces clasificar el término según su grado, o incluso establecer relaciones de igualdad o diferencia con otros términos.

Polinomio

Así mismo, el Polinomio es concebido por esta disciplina matemática como una expresión algebraica compleja, la cual es definida por lo general como un conjunto finito de monomios, entre los que se establecen distintas operaciones matemáticas, aceptándose por lo general la suma, en la mayoría de los casos, así como la resta y la multiplicación, siendo la división, la excepción. Por igual, dentro del polinomio pueden identificarse también cuatro elementos, definidos de la siguiente manera:

• Términos: cada uno de los sumandos del polinomio (monomios y términos independientes).
• Coeficientes: los números que acompañan a las variables.
• Términos independientes: elementos numéricos, en donde no puede verse ninguna variable.
• Grado: finalmente, el Grado será equivalente al grado de máximo valor que pueda verse en los términos que conforman el polinomio. Su función es también servir de guía a la hora de clasificar la expresión algebraica.

Ejemplos producto de un polinomio por un monomio

Revisadas estas definiciones, será mucho más fácil entender el cómo se lleva a cabo la operación por medio del cual se somete a una operación de multiplicación un polinomio y un monomio,  y en donde básicamente se procede, después de organizar de forma descendente el polinomio, a multiplicar el coeficiente del monomio por cada uno de los coeficientes del polinomio, mientras que los exponentes de los literales de igual base deberán sumarse entre ellos. Sin embargo, es probable que la mejor forma de explicar esta operación sea a través de algunos ejemplos concretos, como los que se muestran a continuación:

Resolver la siguiente multiplicación:   2x² . (3x³ + x² – 5)

En este caso, se cuenta con un monomio y un polinomio que coinciden con el número de variables. Así mismo, el polinomio ofrecido se encuentra ya ordenado de forma descendente, por lo que es necesario simplemente multiplicar el coeficiente del monomio por los del polinomio, así como proceder a la suma de sus grados:

2x² . (3x³ + x² – 5)

2x² . 3x³ + 2x² .  x² –  2x². 5

(2 .3) x²⁺³ + (2.1) x ²⁺² –  (2.5)x²⁺⁰

6x⁵ +2x⁴ – 10x²

De esta forma, el resultado final puede ser expresado entonces de la siguiente forma:

2x² . (3x³ + x² – 5)=  6x⁵ +2x⁴ – 10x²

Resolver la siguiente multiplicación:  3y³ . (4y – y³ + 2y² + 4)  

En este caso, el polinomio que participa en la multiplicación no se encuentra ordenado, por lo que lo mejor será procurar disponerlo de forma descendente:

4y – y³ + 2y² + 4 →  – y³ + 2y²+ 4y + 4

Después de esto, se podrá entonces multiplicar el monomio por cada uno de los términos del polinomio:

3y³ .  (– y³ + 2y²+ 4y + 4)

3y³ . – y³ + 3y³ .  2y²+ 3y³ . 4y + 3y³ . 4

(3.-1) y³⁺³  +  (3.2) y³⁺² + (3.4)y³⁺¹ + (3. 4)y³

-3y⁶  + 6y⁵ +  12y⁴+ 12y³

El resultado final puede ser expresado de la siguiente forma:

3y³ .  (– y³ + 2y²+ 4y + 4) =  -3y⁶  + 6y⁵ +  12y⁴+ 12y³

 

Resolver la siguiente operación: -2x³ . (5x – 2x⁴ + 4x² – 7x³ – 2)

También puede ocurrir que el monomio cuente con un coeficiente negativo, en cuyo caso a la hora de multiplicar será necesario el tomar en cuenta la Ley de signos. En este caso, se empezará igualmente por ordenar el polinomio:

5x – 2x⁴ + 4x² – 7x³ – 2 →  – 2x⁴ – 7x³ + 4x² + 5x – 2

Hecho esto, se deberá entonces proceder a multiplicar el coeficiente del monomio por cada uno de los coeficientes del polinomio, al tiempo que sus exponentes se suman:

-2x³ .  – 2x⁴ – 7x³ + 4x² + 5x – 2

(-2x³ .  – 2x⁴) + (-2x³. –7x³) + (-2x³ .4x²) +  (-2x³ . 5x) + (-2x³. –2)=

(-2 . -2)x³⁺⁴ + (-2. –7)x³⁺³ + (-2 .4)x³⁺² +  (-2 . 5x)³⁺¹  + (-2x³. -2)=

4x⁷ + 14x⁶ + (-8)x⁵ + (-10)x⁴ + (4)x³=

4x⁷ + 14x⁶ -8x⁵ -10x⁴ + 4x³

Por ende, el resultado final puede ser expresado de la siguiente manera:

-2x³ . (5x – 2x⁴ + 4x² – 7x³ – 2) =  4x⁷ + 14x⁶ -8x⁵ -10x⁴ + 4x³

Resolver la siguiente operación:  5x² .  (3 +2y + 3y² + y³ + 4y⁴)

También puede ocurrir que las expresiones algebraicas no cuenten con el mismo literal, en cuyo caso, se deberán multiplicar igualmente los coeficientes, y juntar ambos términos, los cuales asumen como grado el total de la suma de sus exponentes. No obstante, al tratarse también de un polinomio desordenado, lo mejor será procurar darle un orden descendente:

3 +2y + 3y² + y³ + 4y⁴ →   4y⁴+y³  + 3y² +2y + 3

5x² . (4y⁴ +y³ + 3y² +2x + 3)=

(5x² . 4y⁴) + (5x² .y³) + (5x² .3y²) + (5x² .2y) + (5x² . 3)

(5 . 4) x²y⁴ + (5 . 1) x²y³ + (5 .3)x²y² + (5 .2)x²y + 15x²

20 x²y⁴ + 5x²y³ + 15x²y² + 10x²y³ + 15x²

El resultado final puede ser expresado entonces de la siguiente manera:

5x² .  (3 +2y + 3y² + y³ + 4y⁴) = 20 x²y⁴+ 5x²y³ + 15x²y² + 10x²y³ + 15x²

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