Cómo realizar la suma de polinomios

Definiciones fundamentales

No obstante, antes de abordar los distintos casos que pueden servir de ejemplo a este tipo de operaciones, quizás sea pertinente traer a capítulo algunas definiciones indispensables para entender la naturaleza de las expresiones algebraicas involucradas, así como los elementos que las constituyen. A continuación, algunas de ellas:

Polinomio

En este sentido, resulta conveniente empezar por la definición de Polinomio, el cual puede ser visto como una expresión algebraica compleja, conformada por un grupo de monomios entre los cuales se establecen distintas operaciones, siendo la suma la que tiene lugar generalmente, aunque también puede haber operaciones de resta o multiplicación, quedando entonces exenta la operación de división. Así mismo, el Álgebra elemental señala que el Polinomio puede considerarse conformado a la vez por cuatro elementos, cada uno de los cuales puede definirse a su vez de la siguiente forma:

• Términos: nombre con el cual se conocen cada uno de los sumandos que pueden contarse en el polinomio, por lo tanto esta categoría agrupa tanto monomios como términos independientes.
• Coeficientes: así mismo, se puede señalar como coeficientes aquellos elementos numéricos que se encuentran en compañía de las variables, y cuya misión es multiplicar estos elementos literales, en caso de que estos adquieran un valor numérico.
• Términos independientes: por su parte, los términos independientes serán aquellos en donde no pueda verse ninguna variable. Su grado siempre será cero (0).
• Grados: por último, el grado estará constituido por el máximo grado que pueda identificarse en uno de los términos del polinomio. Este elemento, por lo general, es usado como guía a la hora de organizar los términos, o procurar una clasificación de la expresión, según su grado.

Orden del polinomio

Igualmente, es importante revisar también la definición de Ordenamiento de polinomio, concebida como la operación algebraica, destinada a identificar el término de máximo grado en un polinomio, a fin de poder disponer los distintos términos en base al orden escogido, bien si es de forma ascendente (es decir, desde el mínimo hasta el máximo grado) o descendente (desde el máximo grado hasta el de menor valor entre ellos). Por lo general, esta operación es parte de otras más, como por ejemplo la de suma de polinomios, en la cual, antes de proceder a sumar los coeficientes de los términos semejantes, se deberá ordenar el polinomio, puesto que es necesario que los términos de igual grado, ocupen la misma posición.

Ejemplos de suma de polinomios

Vistas estas definiciones, será mucho más sencillo entender entonces los ejemplos que se expondrán a continuación sobre cómo debe hacerse para sumar dos polinomios, operación que implica varios procesos, pues en ocasiones, antes de proceder a la adicción de los términos semejantes, se debe ordenar el polinomio. A continuación, entonces, algunos casos en donde queda sentado los dos métodos que se pueden usar para proceder a la suma de polinomios:

Sumar los polinomios P_(x) = 5x² – 4x³ + 3x – x⁴ + 7  Y   Q_(x) = 4x  – 5x⁴ + x³ – 8 – x²

Independientemente de cuál de los dos métodos decida usarse en la suma de polinomios, el primer paso que debe hacerse antes de sumar estas expresiones algebraicas será organizar ambos polinomios, puesto que para determinar cuáles son los términos semejantes, lo mejor será que estos ocupen la misma posición en cada uno de los términos:

P_(x) = 5x² – 4x³ + 3x – x⁴ + 7   →  P_(x) = – x⁴– 4x³ + 5x²  + 3x + 7
Q_(x) = 4x  – 5x⁴ + x³ – 8 – x²   →  Q _(x) = – 5x⁴ + x³ – x² +  4x  – 8

Una vez hecho esto, y habiendo decidido emplear uno de los dos métodos que existen para sumar polinomios, se deberá entonces proceder a expresar la suma, construyendo una sola expresión, en donde se coloquen frente a frente los distintos términos semejantes, a fin de sumarlos, pero respetando los signos que tenían en la expresión original:

P_(x) + Q_(x) = ( – x⁴– 4x³ + 5x²  + 3x + 7) +  (- 5x⁴ + x³ – x² +  4x  – 8 )

P_(x) + Q_(x) =  [(– x⁴ ) + (-  5x⁴) + (– 4x³ + x³) + (5x² – x²) + (3x +  4x) + (7 – 8)

Posteriormente, se deberán resolver cada una de las operaciones planteadas entre los coeficientes de los términos:

P_(x) + Q_(x) =  [(– x⁴ ) + (-  5x⁴) + (– 4x³ + x³) + (5x² – x²) + (3x +  4x) + (7 – 8)

P_(x) + Q_(x) =  -9x⁴ + (– 3x³) + (4x² ) + (7x) + (-1)

P_(x) + Q_(x) =  -9x⁴ – 3x³ + 4x²  + 7x – 1

El resultado final será entonces:

P_(x) + Q_(x) =  -9x⁴ – 3x³ + 4x²  + 7x – 1

Sumar los polinomios P_(x,y)= 3x + 4xy⁴ + 6x² + x³ + 2   Y    Q_(x,y) = 2xy⁴ + 5x² + 6 + 3x³ + x 

No obstante, se puede optar por seguir el segundo método, para lo cual sin embargo será necesario igualmente organizar los polinomios:

P_(x,y)= 3x + 4xy⁴ + 6x² + x³ + 2   →  P_(x,y)= 4xy⁴+ x³ + 6x²+ 3x + 2

Q_(x,y) = 2xy⁴ + 5x² + 6 + 3x³ + x  →   Q_(x,y) = 2xy⁴ + 3x³ + 5x² + x  + 6

Una vez que los polinomios se han organizados, se deberán colocar uno sobre otro, a fin de poder colocar sus términos semejantes en la misma posición, a fin de sumar los coeficientes:

           4xy⁴  +   x³ +  6x²  +  3x  +  2

          2xy⁴  + 3x³ +  5x²  +    x  +  6
———————————————-

        6xy⁴ +  4x³ + 11x² + 4x + 8

Una vez obtenido el resultado será expresado de la siguiente forma:

P_(x,y) + Q_(x,y) =  6xy⁴ +  4x³ + 11x² + 4x + 8

Sumar los polinomios P_(x)= 3x – 2x⁴ + x² + 5   Y   Q_(x) =  3 – 4x⁵ + 2x² – x³

También puede suceder que los polinomios que van a sumarse, a pesar de tener términos semejantes, también cuenten con términos que se encuentran en un polinomios, y en otro no. En este caso, será necesario igualmente organizar ambos polinomios, a fin de procurar que los términos semejantes asuman igual posición:

P_(x)= 3x – 2x⁴ + x² + 5   →  P_(x)= – 2x⁴ + x² + 3x + 5

Q_(x) =  3 – 4x⁵ + 2x² – x³   → Q_(x) =  – 4x⁵– x³ + 2x² + 3

Una vez hecho esto, y escogido el método de colocar uno sobre otros los polinomios para resolver la operación de adicción entre ellos, se debe tener en cuenta que al hacerlo, en caso de que se trate de polinomios incompletos, se deberá respetar el espacio del grado faltante, a fin de conseguir que efectivamente cada término quede uno encima de otro, procediendo a sumar sus términos semejantes:

            – 2x⁴              + x²      + 3x    + 5

– 4x⁵                         – x³    + 2x²                      + 3

————————————————-

-4x⁵    –  2x⁴  –  x³     + 3x²  +  3x   + 8

Finalmente, se expresa el total final de la siguiente manera:

P_(x) + Q_(x) =   -4x⁵ – 2x⁴ – x³ + 3x² + 3x + 8

Sumar los polinomios P_(x,y,z) =  5 – 2xyz + xyz³   Y  Q_(x,y,z) =  4 + 4xyz – 5xyz³ + 8x²

Si llegado el caso de tener que sumar polinomios que no tienen igual cantidad de términos, y que además no comparten absolutamente todos los términos semejantes, se escogiera además el método que implica colocar cada uno de estos términos delante de su semejante, igualmente se debería comenzar por ordenar ambos términos:

P_(x,y,z) =  5 – 2xyz + xyz³ →     P_(x,y,z) =  xyz³  – 2xyz  +  5

Q_(x,y,z) =  4 + 4xyz – 5xyz³ + 8x² →  Q_(x,y,z) =  – 5xyz³ + 8x²+ 4xyz + 4

Ordenados los polinomios, se convertirán ambos en una sola expresión, en donde se enfrentarán los términos semejantes, mientras que aquellos que no posean de un par en el otro polinomio permanecerán solos:

P_(x,y,z) + Q_(x,y,z) =   (xyz³  – 2xyz  +  5) + (– 5xyz³ + 8x²+ 4xyz + 4)

P_(x,y,z) + Q_(x,y,z) =  (xyz³– 5xyz³) + 8x² + (– 2xyz + 4xyz ) + (5 + 4)

Hecho esto, se resolverán las operaciones planteadas dentro de los paréntesis

P_(x,y,z) + Q_(x,y,z) =  (xyz³– 5xyz³) + 8x² + (– 2xyz + 4xyz ) + (5 + 4)

P_(x,y,z) + Q_(x,y,z) =  -4xyz³ + 8x² +  2xyz + 9

Finalmente, se expresa el total obtenido, de la siguiente manera:

P_(x,y,z) + Q_(x,y,z) =  -4xyz³ + 8x² +  2xyz + 9

Sumar los polinomios P_(x,y)=  3xy – 2xy² + 5 – x⁴   Y   Q_(x,y)= 4 + 5xy² – 2x⁴ + 3x⁵

Igualmente, puede surgir la inquietud de comprobar si ciertamente ambos métodos para sumar polinomios consiguen iguales resultados. Por ende, se puede realizar la suma de dos formas distintas, para poder comparar los totales obtenidos. En este caso, igual toca ordenar cada uno de los polinomios:

P_(x,y)=  3xy – 2xy² + 5 – x⁴   →  P_(x,y)=  – x⁴  – 2xy² + 3xy + 5

Q_(x,y)= 4 + 5xy² – 2x⁴ + 3x⁵  →  Q_(x,y)= 3x⁵– 2x⁴+ 5xy² + 4

Hecho esto, se puede proceder a sumar los polinomios, colocando ambas expresiones, una sobre otra, respetando el espacio de los grados que no se encuentren presentes en los polinomios, procediendo a sumar los coeficientes de los términos semejantes:

                       – x⁴   – 2xy²  + 3xy      + 5

             3x⁵    – 2x⁴     + 5xy²                 + 4

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            3x⁵ – x⁴   + 3xy²     +  3xy      +  9

El resultado final de la suma de polinomios, empleando este método será:

P_(x,y) + Q_(x,y) =  3x⁵ – x⁴   + 3xy² +  3xy  +  9

Así mismo, esta operación se puede llevar a cabo a través del método que permite colocar un polinomio enfrente del otro, convirtiéndolos en una sola expresión, a fin de sumar los coeficientes de los elementos iguales:

P_(x,y) + Q_(x,y) =  (– x⁴  – 2xy² + 3xy + 5) +   (3x⁵– 2x⁴+ 5xy² + 4)

P_(x,y) + Q_(x,y) =  3x⁵ + (– x⁴  – 2x⁴) + (– 2xy² + 5xy²) + 3xy + ( 5+4)
P_(x,y) + Q_(x,y) =  3x⁵ + (– x⁴ ) + (3xy²) + 3xy + ( 9)
P_(x,y) + Q_(x,y) =  3x⁵ – x⁴  + 3xy² + 3xy + 9

Al comparar ambos resultados, se puede comprobar entonces que ambos métodos conducen efectivamente al mismo total.

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