Entre los distintos productos notables, reconocidos por al Álgebra, se encuentra el Cuadrado de un polinomio. Sin embargo, previo a abordar una explicación sobre esta regla matemática, se revisarán algunas definiciones, que de seguro permitirán entenderlo dentro de su justo contexto matemático.
Definiciones fundamentales
Por consiguiente, podrá tomarse también la decisión de delimitar esta revisión teórica a tres nociones fundamentales: Monomio, Polinomio y Productos notables, por encontrarse directamente relacionado con la regla matemática, que se estudiará posteriormente. A continuación, cada una de estas definiciones:
Monomio
De esta forma, se comenzará por decir que el Monomio ha sido explicado por las Matemática como un término algebraico, constituido por un elemento numérico que establece una operación de multiplicación con un elemento literal, siendo esta la única operación que puede realizarse entre ellos.
Además, las Matemáticas señalan que el Monomio se encuentra conformado por cuatro distintos elementos, los cuales son explicados de la siguiente forma:
- Signo: este elemento es el primero que se encuentra en el término algebraico o monomio, en una lectura de izquierda a derecha. Su misión es señalar cuál es la naturaleza del término, es decir, si este es positivo o negativo. Por tradición, solo se declara cuando el monomio es negativo, dándose por sentado que es positivo si no aparece ningún signo delante de este.
- Coeficiente: así mismo, en el término, se encuentra el coeficiente, el cual se encuentra constituido por un número entero, cuya misión es señalar la cantidad por la que debe multiplicarse el literal, toda vez que tome una cantidad específica.
- Literal: por su parte, el literal se encuentra constituido por una letra, cuya misión es tomar ciertas cantidades, en determinados momentos. Por lo general, se usan las letras a, b y c, aunque también se usan la x, y o z cuando la cantidad que asumirá el literal es una incógnita. El literal siempre se multiplica por el coeficiente.
- Grado: finalmente, en el monomio también hace parte el Grado, el cual es explicado como el exponente al cual se eleva el literal del número. Este grado también está constituido por un número entero, su misión es señalar el grado del monomio, al tiempo que indica cuál es su posición exacta dentro de un polinomio, cuando esta expresión algebraica se ordena.
Polinomio
Por otro lado, también será necesario lanzar luces sobre el concepto de Polinomio, el cual ha sido explicado, por las distintas fuentes como una expresión algebraica, que se encuentra conformada por una serie de monomios, entre los que se establecen distintas operaciones matemáticas, como por ejemplo la suma o la resta. A continuación, algunos ejemplos de polinomios:
3x – y =
4x4 + x2 + 6=
2x2 + 9 =
Productos notables
Por último, también es necesario pasar revista sobre la definición de Productos notables, los cuales han sido explicados como un conjunto de normas matemáticas, orientadas a la factorización, es decir, el proceso por medio del cual se toma una expresión algebraica o polinomio, y se convierte en un producto.
Así mismo, los Productos notables otorgan –a través de un conjunto de reglas matemáticas- la forma de realizar multiplicaciones entre polinomios, sin tener que multiplicar cada término, lo cual además de ahorrar tiempo, evita que se cometan algunos errores, durante la realización de este procedimiento.
Cuadrado de un polinomio
Una vez se han revisado cada uno de estos conceptos, puede que ciertamente sea mucho más sencillo aproximarse al concepto de Cuadrado de un polinomio, el cual ha sido explicado entonces como el Producto notable que señala que siempre que se quiera elevar al cuadrado un polinomio, la potencia será igual a la suma de los cuadrados de cada término individual más el doble de los sumandos de cada posible par de términos. Este producto notable se puede expresar de la siguiente manera:
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2 . (ab + ac + bc)
Ejemplo de cómo determinar el Cuadrado de un polinomio
Sin embargo, puede que la forma más eficiente de completar una explicación sobre el producto notable Cuadrado de un polinomio sea a través de la exposición de un ejemplo concreto, que permita ver de forma concreta cómo debe procederse cada vez que se esté ante esta operación algebraica. A continuación, el siguiente ejercicio:
Resolver la siguiente potencia:
(2x – 3y + 4z)2 =
Lo primero que debe hacerse en este caso es revisar la naturaleza de los términos. Al hacerlo, se precisa entonces que se trata de la elevación al cuadrado de un polinomio. Por ende, se puede aplicar el producto notable correspondiente para este tipo de casos. Para esto se debe aplicar siguiente fórmula matemática:
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2 . (ab + ac + bc)
Se comienza, entonces, en base a esta fórmula a plantear las distintas operaciones que se deben realizar para resolver esta potencia:
(2x – 3y + 4z)2 = (2x)2 + (-3y)2 + (4z)2 + 2. [(2x).(-3y) + (2x). (4z) + (-3y) . (4z) =
Hecho esto, se comienza entonces a resolver cada una de las operaciones planteadas:
(2x)2 + (-3y)2 + (4z)2 + 2. [(2x).(-3y) + (2x). (4z) + (-3y) . (4z) = 4x2 + 9y2 + 16z2 + 2 . [-6xy + 8xz – 12yz
Se sacan los elementos del corchete:
4x2 + 9y2 + 16z2 + 2 . [-6xy + 8xz – 12yz = 4x2 + 9y2 + 16z2 – 12xy + 16xz – 24yz
Se considera entonces resuelta la potencia, y solo queda expresar el resultado:
(2x – 3y + 4z)2 = 4x2 + 9y2 + 16z2 – 12xy + 16xz – 24yz
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