Definiciones fundamentales

Por consiguiente, también se optará por delimitar esta revisión teórica a cuatro nociones específicas: Igualdades, Ecuaciones, Ecuaciones de segundo grado y Fórmula general para Ecuaciones de segundo grado completas, por encontrarse directamente relacionadas con el caso que se estudiará posteriormente. A continuación, cada uno de estos conceptos:

Igualdades

De esta manera, se comenzará por decir que las Igualdades han sido definidas por la disciplina matemática como aquella relación que se establece entre dos elementos o términos, que pueden ser considerados iguales en cuanto a su valor total. Por otro lado, las Matemáticas también señalan que esta relación puede ser expresada a través del signo igual (=).

Así mismo, los diferentes autores han explicado que las igualdades se encuentran siempre compuestas por dos distintos términos, que resultan obviamente iguales, y que se identificarán de la siguiente manera:

• Primer término: corresponderá a los elementos o términos que se ubiquen de forma anterior al signo igual (=).
• Segundo término: por su lado, los elementos o términos que se encuentren de manera posterior al signo usado para expresar la relación de igualdad recibirán entonces el nombre de segundo término.

Además, se podrá hablar igualmente de dos distintos tipos de igualdades, cuya principal diferencia estará constituida por la naturaleza de los elementos que componen sus términos, definiéndose entonces tal como se ve a continuación:

• Igualdades numéricas: cuando la relación de igualdad se establece entre dos términos, constituidos por completo por elementos numéricos.
• Igualdades literales: por su lado, también se encontrarán las Igualdades literales, las cuales se caracterizarán por contar con términos conformados por elementos numéricos y elementos literales. En otras palabras, las igualdades literales se establecen entre términos algebraicos.

Ecuaciones

En segundo lugar, se lanzarán luces sobre la definición de Ecuaciones, las cuales han sido básicamente descritas como una igualdad literal, en donde ocurre que el elemento literal constituye una incógnita, que debe ser determinada, pero que tiene tan solo un posible valor, pues este es el único que permite que se cumpla la igualdad planteada originalmente. A continuación, un ejemplo de Ecuaciones:

Suponiendo que se tiene la siguiente igualdad:  x +6 = 7

Se puede optar entonces por sustituir x por distintos valores, a fin de determinar si la igualdad expresada puede cumplirse con cualquier valor, o si por el contrario tiene tan solo una opción:

3 + 6 = 7 → 9 ≠ 7
0 + 6 = 7 → 0 ≠ 7
5 + 6 = 7 → 11 ≠ 7
6 + 6 = 7 → 12 ≠ 7
1 + 6 = 7 → 7 = 7

Al hacerlo, se determinará que la igualdad planteada entre los términos x + 6 y 7 sólo es posible cuando x es igual a 1. Siendo entonces una igualdad literal en donde la x tiene tan solo un posible valor, se considera que se está frente a una ecuación. Si por el contrario, la igualdad planteada pudiese cumplirse con cualquier valor para x, se estaría frente a una Identidad.

Ecuación de segundo grado

Así también, será necesario pasar revista sobre el concepto de Ecuación de segundo grado, la cual ha sido explicada como aquella igualdad literal, en la cual además de que el literal constituye una incógnita con un único valor posible a determinar, este se encuentra elevado al cuadrado. Un ejemplo de ecuación de segundo grado, en su forma reducida será el siguiente:

ax² + bx + c = 0

Con respecto a la constitución de esta igualdad, las distintas fuentes han señalado que este tipo de ecuaciones se encuentran conformadas por dos distintos tipos de componentes:

• Elementos: en primer lugar, se encontrarán los elementos, renglón en donde destacan dos distintos subtipos: por un lado, los coeficientes a, b y c, los cuales estarán conformados siempre por elementos numéricos; por otro, la incógnita, la cual por tradición se representa con la letra x.
• Términos: así mismo, en las ecuaciones de segundo grado se distinguirán tres distintos términos, los cuales corresponden a la siguiente descripción:

• ax² → término cuadrático, responsable de señalar el grado de la ecuación.
• bx → término lineal
• c → término independiente, denominado de esta forma por estar constituido por un elemento numérico, que no se encuentra unido o acompañado de ningún elemento literal.

Así mismo, las Matemáticas han señalado que las Ecuaciones de segundo grado podrán clasificarse en dos distintos tipos, cuya principal diferencia será la presencia o ausencia de alguno de sus términos:

• Ecuaciones de segundo grado incompletas: este tipo de ecuaciones se caracterizarán por contar presentar el término lineal o el término independiente –o incluso ambos- nulos, lo cual sucede cuando el coeficiente de algunos de ellos es igual a cero. Por el contrario, el coeficiente del término cuadrático siempre será distinto a cero, puesto que de serlo, la ecuación dejaría de ser de segundo grado. Este tipo de ecuaciones pueden tener las siguientes formas:

ax² + c = 0
ax² +b = 0
ax² = 0

• Ecuaciones de segundo grado completas: por su parte, las Ecuaciones de segundo grado serán identificadas como igualdades literales completas cuando los coeficientes de sus tres distintos términos sean distintos a cero, sin que ninguno de ellos resulte entonces nulo. Un ejemplo de la forma reducida de esta ecuación será la siguiente:

ax² + bx + c = 0

Fórmula general para ecuaciones de segundo grado completas

Por último, se señalará que las Matemáticas consideran dos distintos métodos para dar solución a las ecuaciones de segundo grado completas. Por un lado, se encontrará entonces el Método de la determinación de cuadrados perfectos, equivalentes a la ecuación. Por otro, se encontrará la aplicación de la fórmula general para ecuaciones de segundo grado completas, la cual corresponde entonces a la siguiente:

Es importante señalar que las Matemáticas definen al radicando del radical, ubicado en el campo superior de esta fórmula, como el Discriminante, asignándole entonces la responsabilidad de determinar, según su propia naturaleza positiva, negativa o nula, la cantidad de soluciones posibles con las que puede contar la ecuación.

Segundo caso de la fórmula general: discriminante positivo

Una vez se han revisado cada una de estas definiciones,  seguramente será mucho más sencillo aproximarse a una explicación sobre la forma en que debe abordarse toda ecuación de segundo grado completa en cuya fórmula general el discriminante resulte diferente a cero y de naturaleza positiva. En este orden de ideas, de acuerdo a lo que señalan las matemáticas, este tipo de ecuaciones tienen dos posibles soluciones, constituidas ambas por números reales:

Esta situación es posible debido al signo ± que se encuentra delante del radical:

Suponiendo que b² – 4ac = m se tendrá entonces lo siguiente:

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