Definiciones fundamentales

En este sentido, se tomará también la decisión de delimitar esta revisión teórica a cuatro nociones específicas: Ecuaciones, Ecuaciones de segundo grado, Fórmula general para ecuaciones de segundo grado y Primer caso de la fórmula general para ecuaciones de segundo, por encontrarse directamente relacionados con el ejemplo que se abordará posteriormente. A continuación, cada uno de estos conceptos:

Ecuaciones

Por consiguiente, se verá entonces cómo las Ecuaciones han sido explicadas, por las distintas fuentes matemáticas como un tipo de igualdad literal, en donde ocurre que la incógnita se encuentra constituida por un elemento literal o letra, la cual tiene solo una posible solución, para que la igualdad planteada originalmente se cumpla. A continuación, un ejemplo de este tipo de expresiones:

Si se tuviese la siguiente igualdad:   x + 3 = 9

Se podría optar por hacer que la x asumiera distintos valores, a fin de determinar si realmente la igualdad planteada se cumple con cualquier valor, o tan solo con uno de ellos:

2 + 3 = 9 → 5 ≠ 9
5 + 3 = 9 → 8 ≠ 9
9 + 3 = 9 → 12 ≠ 9
6 + 3 = 9 → 9 = 9

Al hacerlo, se determina entonces que la igualdad sólo puede cumplirse cuando x resulta igual a 6. Por ende, al tener la x sólo una posibilidad, entonces se asume que la expresión es una ecuación. Por el contrario, si la igualdad pudiera cumplirse independientemente del valor de x, entonces se diría que la expresión es en realidad una Identidad.

Ecuaciones de segundo grado

Así mismo, será necesario lanzar luces sobre el concepto de Ecuaciones de segundo grado, las cuales han sido explicadas entonces como un tipo de Igualdad literal, en la que la incógnita se encuentra no sólo constituida por un literal, que corresponde tan sólo a un valor, sino que este elemento se encuentra también elevado al cuadrado. A continuación, un ejemplo sobre la forma reducida que presenta cualquier ecuación de segundo grado:

ax² + bx + c = 0

Por otro lado, las Matemática han señalado igualmente que las Ecuaciones de segundo grado se encuentran conformadas por dos distintos tipos de componentes, los cuales han sido explicados de la siguiente manera:

• Elementos: en primer lugar, se encontrarán los elementos, en donde se pueden distinguir a su vez dos distintas subclases: por un lado, se señalarán entonces los coeficientes a, b y c, los cuales siempre se encontrarán conformados por elementos abstracto numéricos; por otro, dentro de la ecuación existirá también la incógnita, la cual deberá despejarse, y estará constituida casi siempre por la letra x.
• Términos: así también, en las Ecuaciones de segundo grado podrán encontrarse tres distintos términos, los cuales corresponde a los siguientes:

• ax² → término cuadrático, cuya misión es señalar el grado de la ecuación.
• bx → término lineal.
• c → término independiente.

Además, las Matemática señalan que existen dos distintos tipos de Ecuaciones de segundo grado, cada una de las cuales ha sido explicada tal como se muestra a continuación:

• Ecuaciones de segundo grado incompletas: conocidas como las ecuaciones en donde el mayor valor del exponente de los literales es el cuadrado, y en donde además el término lineal o el término independiente –e incluso ambos en algún momento- resultan nulos, por contar con coeficientes iguales a cero. Las ecuaciones de segundo grado incompletas pueden tener las siguientes formas:

ax² + c = 0
ax² + bx = 0
ax² = 0

• Ecuaciones de segundo grado completas: por otro lado, este tipo de ecuaciones se caracterizarán por contar en todo momento con sus tres términos, pues ninguno de los coeficientes resulta igual a cero. Estas ecuaciones responden entonces a la siguiente forma:

ax² + bx + c = 0

Fórmula general para Ecuaciones de segundo grado

Así también, se hará necesario tomar un momento para traer a capítulo este concepto, el cual básicamente puede ser explicados como uno de los dos procedimientos que pueden emplearse toda vez que se desee resolver una ecuación de segundo grado completa. De acuerdo a las distintas fuentes, esta fórmula responde a la siguiente expresión:

 

Respecto a esta fórmula, es importante indicar que en el campo superior se encuentra el Discriminante, constituido por el radicando del radical, y que cumple con la misión de indicar –según si su naturaleza es positiva, negativa o nula- cuál es la forma adecuada en que debe resolverse la ecuación, así también cómo cuántas posibles soluciones presenta.

Primer caso de la fórmula general para ecuaciones de segundo grado

Finalmente, también será necesario lanzar luces sobre el primer caso que presenta este procedimiento, destinado a dar solución a Ecuaciones de segundo grado completas, y que básicamente ocurre cuando el discriminante de la fórmula general es nulo, es decir, cuando es igual a cero. En estas circunstancias, las Matemáticas señalan que la Ecuación de segundo grado tendrá entonces dos soluciones idénticas, o dicho en otras palabras, una sola solución:

 

Ejemplo de cómo abordar el primer caso de la fórmula general: discriminante nulo

Empero, tal vez la forma más eficiente de completar una explicación sobre el primer caso de la fórmula general en las Ecuaciones de segundo grado sea exponer un ejemplo concreto, que permita ver de qué forma debe procederse, así como las soluciones que puede tener esta igualdad literal:

Resolver la siguiente ecuación 4x² + 12x + 9 = 0

Al estar frente a esta ecuación, lo primero que se hará será revisar sus distintos términos, pudiendo entonces encontrar que se trata de una ecuación de segundo grado completa. Así mismo, se optará por resolver esta ecuación por medio de la fórmula general:

Se resuelve entonces las distintas operaciones del radicando, o Discriminante, pues la naturaleza de este dirá ante cuál caso de la fórmula general se está:

12² – 4. 4. 9 = 144 – 144 = 0

Se tiene entonces que el Discriminante es nulo, por lo que se trata del primer caso de la fórmula general. Sin este elemento, la Ecuación se debe resolver entonces de la siguiente forma:

No obstante, la expresión puede simplificarse aún más, siendo entonces la única solución con la que cuenta la Ecuación: