Antes de exponer algunos de los ejemplos que pueden surgir en torno a cómo se debe resolver el Cuadrado de un polinomio, se revisarán algunas definiciones, que de seguro permitirán entender este tipo de procedimientos, dentro de su justo contexto matemático.
Definiciones fundamentales
Por consiguiente, también se tomará la decisión de delimitar esta revisión teórica a cuatro nociones específicas: Monomio, Polinomio, Productos notables y Cuadrado de un polinomio, por encontrarse directamente relacionados con los ejercicios que se estudiarán posteriormente. A continuación, las siguientes definiciones:
Monomio
En primer lugar, se tendrá entonces que el Monomio ha sido explicado, de forma general, como un término algebraico, constituido por un elemento numérico y un elemento literal, entre los que existe una operación de multiplicación, siendo esta la única operación que puede existir.
Así mismo, la disciplina matemática señala que en todo Monomio existen cuatro elementos, los cuales pueden ser explicados de la siguiente manera:
Signo: será el primer elemento que se encuentre en el monomio, si se hiciera una lectura de izquierda a derecha. La misión de este elemento es declarar si el término es de naturaleza positiva o negativa.
Coeficiente: por otro lado, este elemento se encuentra conformado por un número entero, que tiene como misión indicar cuál es la cantidad por la que debe multiplicarse el litera, cuando este asuma una cantidad específica.
Literal: por igual, en el monomio, se encuentra el literal, constituido por una letra, cuya misión es asumir cantidades específicas, en momentos determinados. Estas cantidades establecen multiplicación con el coeficiente del término.
Grado: finalmente, en el término algebraico o monomio, se encuentra el Grado, constituido por el exponente al cual se eleva el literal. La misión del gran es indicar qué lugar ocupa el elemento dentro del polinomio.
Polinomio
Otro de los conceptos que deben revisarse es el de Polinomio, el cual ha sido explicado, a grandes rasgos, como una expresión algebraica, conformada por un grupo de monomios, entre los que se establecen operaciones de suma y resta. Algunos ejemplos de polinomios son los siguientes:
3x2 + y =
2a + 3b+ 5c + 7 =
4x3 + y + 2 =
Productos notables
Así también, será propicio lanzar luces sobre el concepto de Productos notables, los cuales han sido explicados como un conjunto de reglas o normas matemáticas, las cuales tienen como objetivo orientar la factorización de polinomios, es decir, el proceso matemático por medio del cual un polinomio se convierte en un producto.
De igual forma, los Productos notables constituyen fórmulas matemáticas, que permiten realizar de forma directa una multiplicación entre monomios o polinomios, a fin de ahorrar tiempo, e incluso evitar que se cometan errores en el proceso.
Polinomio de un cuadro
Por último, también se tomará un momento para traer a capítulo el concepto de Polinomio de un cuadrado, el cual es explicado básicamente como la operación de multiplicar por sí mismo un polinomio.
Este tipo de ejercicio puede ser resuelto, agrupando el polinomio en varios binomios, y luego buscando resolver el ejercicio por medio del Producto notable que dice que siempre que se quiera elevar un binomio al cuadrado el resultado será igual al cuadrado del primer término, más el doble del producto de los elementos, más el cuadrado del segundo término. En el caso de un polinomio, se procedería de la siguiente forma:
(a + b + c)2 = [ (a +b) + c 2 = (a + b)2 + 2 . (a + b) . c + c2
Por otro lado, también se puede aplicar directamente la fórmula matemática para los polinomios que se quieren elevar al cuadrado, la cual señala que siempre que se quiera realizar esta operación, el resultado será igual a la suma de los cuadrados individuales de cada término, más el doble del producto de cada uno de los pares posibles:
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2 . (ab + ac + bc)
Ejemplos de cómo determinar el Cuadrado de un polinomio
Una vez se han revisado estas definiciones, puede que ciertamente sea mucho más sencillo abordar una aproximación a algunos ejemplos sobre cómo proceder siempre que se desee elevar al cuadrado un polinomio. A continuación el siguiente ejercicio:
Elevar al cuadrado la siguiente expresión algebraica:
(2x – 3y + 4z)2 =
Al comenzar con este ejercicio, lo primero que debe hacerse es revisar la naturaleza del término a elevar, lo cual lleva a descubrir que se trata de la elevación de un polinomio al cuadrado. En este caso, existen dos posibles formas de solucionarlo:
Por medio del producto notable Cuadrado de un binomio:
La primera que se probará es aquella que por medio de la propiedad asociativa, permite convertir este trinomio en un binomio:
(2x – 3y + 4z)2 = [(2x -3y) + 4z2
Una vez se ha logrado convertir la operación en un binomio al cuadrado, se procede entonces aplicando la siguiente fórmula:
(a + b + c)2 = [ (a +b) + c 2 = (a + b)2 + 2 . (a + b) . c + c2
[(2x -3y) + 4z2 = (2x-3y)2 + 2 (2x – 3y) . 4z + (4z)2
Se procede a realizar las operaciones planteadas:
(2x-3y)2 + 2 . (2x – 3y) . 4z + (4z)2 =
En el primer término también se ha creado un binomio al cuadrado, por lo que debe resolverse con la fórmual (a + b)2 = a2 + 2ab + b2. En cuanto a los otros términos, se multiplican:
(2x-3y)2 + 2 . (2x – 3y) . 4z + (4z)2 =
[(2x)2 + 2 (2x) . (-3y) + (-3y)2 + 16xz – 24yz + 16z2=
4x2 – 12xy + 9y2 + 16xz – 24yz + 16z2
Este resultado puede ordenarse, quedando entonces de la siguiente manera:
4x2 + 9y2 + 16z2 – 12xy + 16xz – 24yz
Por último, se expresa el resultado:
(2x – 3y + 4z)2 = 4x2 + 9y2 + 16z2 – 12xy + 16xz – 24yz
Por medio del producto notable Cuadrado de un polinomio
Sin embargo, también se puede aplicar directamente la fórmula concebida por las matemáticas para este tipo de casos, y que señala que el cuadrado de un polinomio será siempre igual a la suma de los cuadrados individuales de los términos más el doble de la suma de los distintos pares posibles entre términos:
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2 . (ab + ac + bc)
En este caso, la forma de solucionar este ejercicio será el siguiente:
(2x – 3y + 4z)2 =
(2x – 3y + 4z)2 = (2x)2 + (-3y)2 + (4z)2 + 2. [(2x).(-3y) + (2x). (4z) + (-3y) . (4z) =
Hecho esto, se comienza entonces a resolver cada una de las operaciones planteadas:
(2x)2 + (-3y)2 + (4z)2 + 2. [(2x).(-3y) + (2x). (4z) + (-3y) . (4z) = 4x2 + 9y2 + 16z2 + 2 . [-6xy + 8xz – 12yz
Se sacan los elementos del corchete:
4x2 + 9y2 + 16z2 + 2 . [-6xy + 8xz – 12yz = 4x2 + 9y2 + 16z2 – 12xy + 16xz – 24yz
Se considera entonces resuelta la potencia, y solo queda expresar el resultado:
(2x – 3y + 4z)2 = 4x2 + 9y2 + 16z2 – 12xy + 16xz – 24yz
En ambas formas se obtiene el mismo resultado.
