Antes de exponer algunos ejemplos sobre la forma correcta de determinar el Cubo de un binomio, se revisarán ciertas definiciones, que de seguro permitirán entender esta clase de ejercicios, en su justo contexto matemático.
Definiciones fundamentales
En este sentido, se tomará también la decisión de delimitar esta revisión teórica a tres nociones específicas: Binomio, Productos notables y Cubo de un Binomio, por encontrarse directamente relacionados con los ejercicios, que se estudiarán posteriormente. A continuación, cada una de estas definiciones:
Binomio
Por consiguiente, se comenzará por señalar que el Binomio ha sido explicado como una expresión algebraica, la cual se encuentra constituida por la suma o la resta de dos monomios, es decir, por términos algebraicos conformados por un elemento numérico y un elemento literal, entre los que sólo se puede establecer una operación de multiplicación. Algunos ejemplos de esta clase de expresión algebraica son los siguientes:
2x2 – y =
3x4 + 2z =
x2 + 4 =
Productos notables
Así mismo, se tomará también un momento para lanzar luces sobre los Productos notables, los cuales han sido explicados por las Matemáticas como un conjunto de reglas matemáticas, que se dan en relación con la Factorización, es decir, el proceso matemático que se realiza para lograr que el polinomio se exprese como un producto.
En consecuencia, los Productos notables son un conjunto de normas matemáticas, que establecen mecanismos para que los polinomios puedan multiplicarse de forma directa, y sin necesidad de tener que procesar término por término, lo cual además de representar un ahorro considerable de tiempo, también ayuda a reducir de forma importante los distintos errores que podrían presentarse.
Cubo de un binomio
Por último, se revisará también el concepto de Cubo de un binomio, el cual ha sido explicado como el Producto notable que permite dar solución a toda operación que requiera elevar al cubo un binomio, es decir, multiplicar un polinomio de dos términos tres veces por sí mismo.
De acuerdo a lo que señalan las distintas fuentes, según esta regla matemática, toda vez que se desee elevar al cubo un binomio se asumirá que el resultado es igual al cubo del primer término, más el triple del primer término al cuadrado por el segundo término, más el triple del producto del primer término por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo término. Este producto notable puede expresarse de la siguiente forma:
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Ejemplos de cómo determinar el cubo de un binomio
Toda vez se han revisado cada una de estas definiciones, puede que ciertamente sea mucho más sencillo exponer algunos ejemplos, que permitan mostrar cómo se debe aplicar esta fórmula matemática, cada vez que se desee elevar un binomio al cubo. A continuación, los siguientes ejercicios:
Ejemplo 1
Resolver la siguiente operación:
(x + 2y)3 =
Lo primero que se hará, a fin de resolver el ejercicio, es revisar la naturaleza de los elementos. Al hacerlo, se precisa entonces que se trata de un binomio que se quiere elevar al cubo. Por consiguiente, se resolverá aplicando la siguiente fórmula:
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Se procede a aplicar este producto notable al binomio:
(x + 2y)3 = (x)3 + 3 . (x)2.(2y) + 3 . (x) . (2y)2 + (2y)3
Hecho esto, se resuelven cada una de las operaciones que han surgido al aplicar la fórmula:
(x)3 + 3 . (x)2.(2y) + 3 . (x) . (4y2) + (2y)3 = x3 + 6x2y + 12xy2 + 8y3
Obtenido este resultado, se procede igualmente a ordenar los términos:
x3 + 6x2y + 12xy2 + 8y3 → x3 + 8y3 + 6x2y + 12xy2
Por último, se expresa el resultado:
(a + b)3 = x3 + 8y3 + 6x2y + 12xy2
Ejemplo 2
Resolver el siguiente ejercicio:
(2x + 3y)3 =
En este caso, también se opta por revisar primero la naturaleza de los elementos involucrados. Al hacerlo, se determina que se trata de un binomio que se desea elevar al cubo. Por ende, se aplicará igualmente el producto notable pertinente:
(2x + 3y)3 = (2x)3 + 3.(2x)2.(3y) + 3 .(2x).(3y)2 + (3y)3
Planteada la fórmula para resolver el ejercicio, se procede a resolver cada una de las operaciones:
(2x)3 + 3.(2x)2.(3y) + 3 .(2x).(3y)2 + (3y)3 = 8x3 + 3. (4x2) . (3y) + 3.(2x).(9y2) + 27y3
8x3 + 3. (4x2) . (3y) + 3.(2x).(9y)2 + 27y3 = 8x3 + 36x2y + 54xy2 + 27y3
Se toma el resultado y se ordena:
8x3 + 36x2y + 54xy2 + 27y3 → 8x3 + 27y3 + 36x2y + 54xy2
Ejemplo 3
Resolver la siguiente operación:
(x + y)3 =
Igualmente, al revisar la naturaleza de los términos, que deben elevarse al cubo, se encuentra que se trata de un binomio, por lo que entonces para resolver esta operación, se debe aplicar el producto notable específico:
(x + y)3 = (x)3 + 3 (x)2 . (y) + 3 (x). (y)2 + y3
Una vez se ha aplicado la fórmula matemática precisa, se debe comenzar por solucionar las distintas operaciones que se han planteado:
(x)3 + 3 (x)2 . (y) + 3 (x). (y)2 + y3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
Una vez se ha obtenido este resultado, se procede entonces a ordenar los términos:
x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 = x3 + y3 + 3x2y + 3xy2
Se expresa entonces el resultado de la operación:
(x + y)3 = x3 + y3 + 3x2y + 3xy2
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