Racionalización de denominadores

No obstante, es menester también traer primero a capítulo la definición de fracción, la cual es entendida por las Matemáticas como una expresión, por medio de la cual se da cuenta de los números fraccionarios, o lo que es igual de cantidades no exactas o no enteras. Así mismo, las Matemáticas señalan que las fracciones estarán compuestas de dos elementos: numerador, cuya función es ocupar la parte superior de la expresión, indicando cuántas partes del todo esta representa; y el denominador, el cual constituye la parte inferior de la fracción, siendo usado para mostrar en cuántas partes se encuentra dividido el todo.

En cuanto a la Racionalización de denominadores, las distintas fuentes indican que esta se trata de una operación matemática, que tiene lugar cuando una fracción tiene en su denominador al menos una expresión radical, y que consiste precisamente en lograr que este número salga del radical, a fin de poder seguir simplificando la fracción.

Pasos para racionalizar denominadores en donde hay sumas y restas

Así mismo, la disciplina matemática señala que a la hora de escoger la forma correcta en que debe ser resuelta una operación de este tipo, en primer lugar se deberá verificar si el denominador está compuesto por una expresión que no presenta ni sumas ni restas, o por el contrario sí las tiene, pues esto determinará cuál es el procedimiento a seguir. En caso de que en el denominador haya presencia de este tipo de operaciones, se deberán seguir entonces los siguientes pasos:

1.- Se determinará cuál es la expresión conjugada del denominador, la cual consiste en una expresión que tiene los mismos elementos, pero el signo contrario.

2.- Se multiplicará el número que sirve de numerador por la expresión conjugada del denominador.

3.- Igualmente, se multiplicará el número que hace las veces de denominador por su expresión conjugada, lo cual debería conducir a sacar los elementos radicales, que fungen como denominador, del signo radical.

Esta operación matemática puede ser expresada de la siguiente manera:

 Ejemplos de cómo racionalizar denominadores en donde hay sumas y restas

Sin embargo, puede que la forma más eficiente de estudiar el cómo resolver este tipo de operaciones, sea a través de ejemplos que permitan ver cómo se cumplen cada uno de estos pasos, tal como se muestra a continuación:

Ejemplo 1

Racionalizar el siguiente denominador:

Al momento de comenzar a resolver la operación planteada, se deberá entonces revisar el denominador, lo cual hace que se observe que en él existe la presencia de una suma. Por lo tanto, al momento de racionalizarlo se deberá multiplicar ambos elementos de la fracción por la expresión conjugada del denominador, entendida esta como una expresión compuesta por iguales literales pero signo inverso,  y que llevará entonces a salir del signo radical:

Se considera entonces racionalizado el denominador de esta fracción, pudiendo expresarse el resultado de la siguiente manera:

Ejemplo 2

Racionalizar, en la siguiente fracción, el denominador:

Así mismo puede existir en el denominador una operación de resta, en este caso se aplicará igualmente la multiplicación de cada elemento por su expresión conjugada (es decir, por expresiones que aun cuando presentan los mismos literales, cuentan con el signo inverso de la original) a fin de lograr que los números que se encuentran en el denominado y arropados por el signo radical salgan de ellos:

Obtenido este resultado, se podrá considerar racionalizado el denominador de la fracción, por lo que será válido expresar el resultado de la siguiente forma:

Ejemplo 3

Racionalizar el denominador de la siguiente fracción:

También pueden ocurrir casos en donde además de existir una operación de suma o resta en el denominador, haya más de un elemento en el numerador. Ante esto, se multiplicará igualmente cada elemento de la fracción, por la expresión conjugada del denominador:

Llegado a este punto, se resolverán las sumas y restas pertinentes entre elementos radicales semejantes, es decir, aquellos que compartan iguales radicandos e índices, a fin de reducir de cuatro elementos en el numerador a dos de ellos. Por su parte, en el denominador –cuyos elementos ya han sido sacados de los radicales, se podrá continuar igualmente con la resta planteada:

Resueltas las sumas y restas pertinentes, se obtiene que el denominador es igual a la unidad, por lo que entonces no es necesaria expresar esa cantidad en forma de fracción, por lo que entonces se podrá anotar de la siguiente manera:

En consecuencia, se podrá considerar que ha sido racionalizado el denominador de esta fracción:

En caso de que en el denominador se presentara una resta, habiendo también dos o más elementos en el numerador, se debería proceder igualmente.

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