Potencias de base racional

No obstante, también puede resultar prudente recordar de forma breve que las fracciones son un tipo de expresión matemática, usada para dar cuenta de números racionales, es decir, cantidades no enteras o no exactas, las cuales se encuentran conformadas igualmente por dos elementos: el numerador, que ocupará la parte superior de la fracción, mostrando cuántas partes del todo representa la fracción; y el denominador, que ocupando la parte inferior, señalará en cuántas partes se encuentra dividido el todo.

En cuanto a la operación de Potencias de base racional, habrá que recordar que la Potenciación es un procedimiento de multiplicación abreviada en la cual un número –que sirve de base- se multiplica a sí mismo, tantas veces como señala un segundo número –que fungirá como exponente- a fin de obtener un resultado, denominado potencia. En el caso de las Potencias de base racionales, se tratará de esta misma operación, pero en lugar de tener como base un número entero, cuentan con una fracción. Por ende, la fracción ofrecida deberá multiplicarse por sí misma tantas veces como señale el número natural dado como exponente.

Pasos para resolver una potencia de base racional

Sin embargo, pese a que la Potencia de base racional se puede definir entonces como una multiplicación abreviada de la fracción, las Matemáticas también sugieren que en lugar de multiplicar por sí misma esta base, tantas veces le indique el exponente, lo mejor será elevar cada elemento de la fracción a este, aplicando entonces lo que se conoce como la fórmula para resolver potencias de base racional. En consecuencia, a la hora de solucionar este tipo de operaciones, se deberán seguir los siguientes pasos:

1.- Precisar cuál es la base y cuál el exponente de la operación.

2.- Aplicar la fórmula matemática para estos casos, y elevar cada miembro de la fracción al exponente señalado.

3.- Revisar el producto obtenido, y verificar si se puede seguir simplificando, a fin de obtener la forma más simple que pueda tener la fracción.

De esta manera, la fórmula que se deberá aplicar en este tipo de casos podrá ser expresada matemáticamente de la siguiente manera:

Ejemplos de cómo resolver potencias de base racional

Empero, puede que la mejor forma de abordar el estudio de esta operación sea a través de la exposición de algunos ejercicios, que permitan ver en la práctica cómo se cumplen cada uno de estos pasos. A continuación, algunos ejemplos de cómo resolver potencias de base racional:

Ejemplo 1

Resolver la siguiente operación:

Planteada la operación, se deberá simplemente aplicar la fórmula matemática pertinente, elevando cada uno de los elementos de la fracción al cubo:

Obtenido este resultado, será imposible encontrar un número que pueda simplificar ambos elementos de la fracción, por lo que se considera entonces que se ha conseguido el resultado final de la operación.

Ejemplo 2

Hallar la potencia de la siguiente operación:

De igual forma, y tal como debe actuarse en todos los casos de potencias de base racional, planteada la operación de potenciación, se deberá elevar cada elemento de la fracción al exponente dado:

Ante este resultado, y considerando que ambos elementos de la fracción están constituidos por números pares, se buscará entonces un número que pueda simplificar esta fracción hasta su expresión más sencilla:

Obtenido este resultado, se asume entonces que se ha hallado la forma más simple de la expresión, pudiendo entonces interpretarse como resuelta la operación de potencia de base racional:

Ejemplo 3

Resolver la siguiente operación de potencia de base racional:

También puede ocurrir que la fracción que sirve de base a la operación de potencia de base racional se encuentre elevada a un exponente igual a cero. En este tipo de casos –y de hecho en todos sin excepción, independientemente de la cantidad expresada por cada elemento de la fracción- se debe aplicar la propiedad matemática que dicta que todo número elevado a un exponente igual a 0, da como resultado la unidad. Por ende:

Ejemplo 4

Resolver la siguiente operación:

Así mismo, si la operación planteada incluyera una fracción que tuviese que elevarse a un exponente igual a la unidad, se debe traer a capítulo entonces la propiedad matemática que existe al respecto, y que señala que toda fracción que se eleve a la unidad deberá dar como resultado ella misma. Esta ley se aplicará siempre, sin importar si se trata de un número entero o fraccionario:

Ejemplo 5

Resolver la siguiente operación:

Dentro de la diversidad de planteamiento que puede existir en referencia a las potencias de base racional, también se encontrarán aquellas que plantean bases racionales negativas. Ante esto, se deberá recordar la Ley matemática que se aplica en este tipo de casos:

1.- Si la base es positiva, su potencia también lo es.
2.- Si la base es negativa y su exponente par, la potencia será positiva.
3.- Si la base es negativa y el exponente impar, la potencia será negativa.

En este ejemplo, se tiene entonces una base impar elevada al cubo, lo cual implicará entonces que cada elemento de la fracción se eleve a este exponente, y que según la Ley matemática el resultado se asuma también como negativo:

Obtenido este resultado, y ante la imposibilidad de seguir simplificando la fracción, se considerará entonces resuelta la potencia de base racional.

Ejemplo 6

Resolver la siguiente potencia de base racional:

Por último, será importante señalar que también pueden existir potencias de base racional elevadas a exponentes negativos, en cuyo caso será necesario aplicar la propiedad que dicta que en caso de estar ante una operación de este tipo, deberá convertir la fracción y su exponente negativo en el denominador de la unidad, a fin de que el exponente cambie su signo a positivo, así mismo posteriormente se deberán invertir los términos de la fracción, elevándola al exponente positivo:

Logrado este resultado, se continuará entonces con la operación de potencias de base racional:

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