Es probable que, antes de abordar algunos ejercicios que pueden servir de ejemplo a la forma en que debe ser resuelta toda potencia de base racional y exponente negativo, sea conveniente revisar de forma breve la propia definición de esta operación, con el fin de entender cada uno de los procedimientos matemáticos en su justo contexto.
Potencias de base racional y exponente negativo
No obstante, quizás también sea conveniente tomar un momento para recordar que las Matemáticas denominan como potencias de base racional a toda operación de potenciación que tenga como base una fracción. Así mismo señala que siempre esta fracción estará elevada a un número natural. La forma de dar solución a este tipo de planteamientos será a través de la elevación de cada elemento de la fracción al exponente señalado.
Sin embargo, no siempre el número natural que sirve de base se encuentra constituido por un número positivo, pudiendo encontrarse a veces un exponente negativo, lo cual si se suma al hecho de que la base de la potencia sea una fracción, entonces se tendrá la operación de potencia de base racional y exponente negativo.
Pasos para resolver una potencia de base racional y exponente negativo
De esta manera, las Matemáticas también han indicado cuáles son los pasos que deben seguirse a la hora de dar solución a este tipo de operaciones, constituyendo un método que deberá ser seguido de la siguiente manera:
- En primer lugar, visto que el exponente es negativo, y la base racional, se tomará esta última como el denominador de la unidad, lo que hará entonces que el exponente cambie su signo a positivo.
- Seguidamente, a fin de dejar de ver la fracción como un denominador, se deberán invertir sus términos.
- Se elevará la potencia invertida al exponente señalado, de signo positivo.
- De ser posible, se simplificará la fracción obtenida.
Así también, la forma de resolver esta operación podría ser expresada matemáticamente de la siguiente forma:
Ejemplos de cómo resolver potencias de base racional y exponente negativo
Sin embargo, siempre la forma más eficiente de estudiar la manera correcta de resolver una operación será a través de la revisión de algunos ejemplos que permitan observar en la práctica cómo se cumple lo señalado por la teoría. A continuación, algunos casos de potencias de base racional y exponente negativo:
Ejemplo 1
Resolver la siguiente operación:
Teniendo, que la fracción se encuentra elevada a un exponente negativo, se deberá aplicar el método señalado en las Matemáticas para este tipo de casos, buscando entonces invertir los elementos de la operación:
Llegado a este punto, se buscará solucionar la operación de potencia racional que se ha obtenido:
En vista de que no existe un número que pueda dividir a ambos elementos, se considera que la fracción no es simplificable, y por ende se tomará como la solución de la operación.
Ejemplo 2
Resolver la siguiente operación:
Sin embargo, no siempre será necesario expresar cada uno de los pasos que llevan a la inversión de los elementos de la fracción una vez que sirve de base a un número negativo. De esta manera se podrá, cada vez que exista una operación de este tipo, simplemente invertir los exponentes, y colocar el exponente positivo:
Hecho esto, se deberá continuar con la solución de la potencia de base racional:
Conseguida la respuesta, se buscará entonces simplificarla:
En este caso, como la fracción simplificada tiene como denominador a la unidad, se tomará entonces como un número entero, así como la solución de la operación:
Ejemplo 3
Resolver la siguiente operación:
A pesar de que el exponente sea uno, y esto ya implique que el resultado vaya a ser la misma fracción que sirve de base, el hecho de que cuente con un signo negativo, implicará que la fracción deba invertirse, a fin de hacer que la unidad adquiera el signo positivo:
Al hacerlo se obtiene entonces una potencia de base racional y exponente 1, que entonces será resuelto tal como señala la ley matemática al respecto:
En vista de que no se puede simplificar la fracción, se tomará esta fracción como la solución final de la operación de potencia de base racional y exponente negativo.
Ejemplo 4
Resolver la siguiente operación:
En este caso se tendrá una potencia de base racional, elevada a un segundo exponente. En consecuencia, la operación comenzará por multiplicar ambos exponentes, con el fin de convertirlos en un solo valor, al cual se elevará igualmente la fracción que sirve de base al primer exponente:
Al hacerlo, se obtiene entonces una operación de potencia de base racional y exponente negativo, por lo que será necesario invertir los elementos –numerador y denominador- de la fracción, para que el exponente pierda su signo negativo:
Cumplido este paso, se deberá entonces elevar cada elemento de la fracción al exponente positivo:
Se obtiene entonces una fracción con elementos de valores elevados, por lo que lo recomendable será tratar de obtener la forma más simple, dividiendo cada uno de estos valores en un número que pueda dividirlos a ambos:
Considerando que la fracción obtenida cuenta con un denominador igual a la unidad, podrá ser expresada como un número entero, considerándose este también como la solución a la operación:
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