Definiciones fundamentales

En este orden de ideas, se decidirá igualmente delimitar esta revisión teórica a tres nociones específicas: Ecuaciones, Ecuaciones de grado mayor a dos y Ecuaciones cuadráticas, por encontrarse directamente relacionadas con el ejemplo que se estudiará posteriormente. A continuación, cada una de estos conceptos:

Ecuaciones

De esta forma, podrá verse cómo las Ecuaciones son consideradas como igualdades literales, en donde ocurre que el elemento literal constituye una incógnita, que sólo cuenta con una posible solución, pues esta es la única que permite que la igualdad planteada en primer momento se cumpla. Un ejemplo de ecuaciones será el siguiente:

Suponiendo que se tiene la siguiente expresión: 2 + x = 8

Se puede optar por sustituir la x con distintos valores, a fin de poder determinar si la igualdad puede cumplirse con todos ellos, o por el contrario con uno sólo en específico:

2 + 3 = 8 → 5 ≠ 8
2 + 4 = 8 → 6 ≠ 8
2 + 5 = 8 → 7 ≠ 8
2 + 6 = 8 → 8 = 8

Cuando se cumple con este ejercicio, se ve entonces cómo la igualdad literal sólo es posible cuando x es igual a 6. Por ende, siendo una igualdad literal en donde la incógnita cuenta con una sola posible solución, entonces la expresión puede ser considerada como una ecuación. Por el contrario, si la igualdad literal se cumpliera con cualquier valor para x, se consideraría una Identidad.

Ecuaciones de grado superior a dos

Así también, se revisará el concepto de Ecuaciones de grado superior a dos, las cuales son explicadas como aquellas igualdades literales, en las que el elemento literal se caracteriza por constituir una incógnita, con una sola posibilidad de solución, y además encontrarse elevada a un  exponente mayor al cuadrado.

En caso de que la expresión cuente con más de un elemento literal, el exponente de mayor valor deberá ser superior al cuadrado. Un ejemplo de este tipo de ecuación, en su forma reducida, será la siguiente:

ax³ + bx² + c + d = 0

Por otro lado, las Matemáticas señalan que las ecuaciones de grado superior a dos se caracterizan por contener dos distintos tipos de componentes, los cuales han sido explicados de la siguiente forma:

• Elementos: en esta categoría se pueden encontrar dos subclases: por un lado, estarán los coeficientes, a, b, c, d, etc., constituidos en todo momento por elementos numéricos; así también en las ecuaciones de este tipo se encontrará la incógnita, representada por tradición por la letra x.
• Términos: así mismo, en las ecuaciones de grado superior a dos existirán varios términos, conformados por los monomios que se suman entre sí, por lo que este tipo de ecuaciones son consideradas también como polinomios. No obstante, también se pueden distinguir dos subtipos: monomios y términos independientes.

Generalmente, la forma de solucionar este tipo de ecuaciones es reduciéndolas a una ecuación de segundo grado –igualdad literal en donde el mayor exponente del literal es el cuadrado- para así solucionarlo con los métodos, previstos para esto.

Ecuaciones bicuadradas

Por último, también será necesario traer capítulo a la definición de Ecuaciones bicuadradas, las cuales han sido explicadas como igualdades literales en donde se presentan las siguientes características:

1. Por un lado, el mayor exponente que puede encontrarse en sus literales –es decir, aquel que le da el grado a la ecuación- es igual a 4.
2. Así mismo, en la ecuación no hay presencia de términos de grados impares.

Ergo, este tipo de ecuación contará entonces con la siguiente forma:

ax⁴ + bx² + c = 0

Por igual, la disciplina matemática ha señalado cuáles son los pasos que deben seguirse toda vez que se quiera dar solución a este tipo de expresiones. A continuación, una breve descripción de ellos:

1.- Una vez se ha expuesto la Ecuación cuadrática, se tratará de expresar el primer término de esta igualdad como un término cuadrático:

2.- En seguida, se aplicará el método de las sustituciones, el cual permitirá convertir la igualdad literal presentada en una ecuación de segundo grado:

x² = z → x⁴ = z²

Una vez se ha expresado esto, se tiene que la ecuación cuadrática, efectivamente se ha convertido en una ecuación de segundo grado:

3.- Se aplica entonces la fórmula general, la cual arroja dos posibles soluciones: Z₁ y Z₂. Si estas soluciones son positivas, originarán a su vez cuatro posibles soluciones para la ecuación cuadrática: X₁, X₂, X₃ y X₄. Esto se puede expresar de la siguiente manera:

Ejemplo de cómo solucionar una ecuación bicuadrada

Una vez se han revisado estas definiciones, puede que ciertamente sea mucho más sencillo aproximarse a un ejercicio, que permita ver de forma concreta cómo se cumplen cada uno de los pasos que llevan a resolver una ecuación de tipo cuadrática. A continuación, el siguiente ejemplo:

Resolver la siguiente ecuación:  x⁴ – 13x² + 36 = 0

Lo primero que se hará será revisar los términos que conforman la ecuación. Al hacerlo, se encuentra que es una ecuación de cuarto grado, en donde no existen términos de grado impar. Por lo tanto es una ecuación cuadrática. En consecuencia, lo primero que se hará, a través del método de las sustituciones será convertir la ecuación cuadrática en una ecuación de segundo grado:

x² = z → x⁴ = z²

x⁴ – 13x² + 36 = 0 →  z² – 13z + 36 = 0

Con esta ecuación obtenida, y debido a que se trata de una ecuación de segundo grado completa, se decide resolverla aplicando la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

Al llegar a esta expresión, y contando con que el radicando es un número positivo, se pueden obtener dos distintas soluciones:

Al obtener estas soluciones de naturaleza positiva, y recordando la sustitución hecha x² = z, se pueden obtener entonces cuatro posibles soluciones:

Se tiene entonces que las soluciones obtenidas de esta ecuación cuadrática son las siguientes:

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