Definiciones fundamentales

De esta manera, también se optará por delimitar esta revisión teórica a dos nociones específicas: Ecuaciones, Ecuaciones de segundo grado y Ecuaciones tricuadradas, por encontrarse directamente relacionada con el ejercicio que se abordará posteriormente. A continuación, cada una de estas definiciones:

Ecuaciones

Por consiguiente, podrá decirse que las Ecuaciones han sido definidas, por las distintas fuentes, como un tipo de igualdad literal, la cual se caracteriza por contener una incógnita, representada por el elemento literal, y que cuenta con solo una posible solución, pues esta es la única que permite que la igualdad planteada originalmente se cumpla. Un ejemplo de este tipo de expresión puede ser la siguiente:

Suponiendo que se tiene la siguiente expresión: x + 5 = 8

Se puede hacer el ejercicio de sustituir la x por distintos valores, a fin de comprobar si la igualdad se cumple con cualquiera de ellos, o si por el contrario tan sólo puede funcionar con un valor en específico:

2 + 5 = 8 → 7 ≠ 8
4 + 5 = 8 → 9 ≠ 8
9 + 5 = 8 → 14 ≠ 8
3 + 5 = 8 → 8 = 8

Una vez se ha realizado el ejercicio, se descubre entonces que ciertamente la igualdad planteada de forma original sólo se cumple cuando la x es igual a 3. Por ende, al tener una sola posible solución, la expresión es entendida como una ecuación. Si por el contrario, esta igualdad pudiese cumplirse independientemente del valor de x, no se trataría de una ecuación simple, sino de una Identidad.

Ecuación de segundo grado

Por su parte, las Ecuaciones de segundo grado han sido descritas como igualdades literales, en donde existe un literal, que además de constituir una incógnita a despejar, cuenta con un exponente cuadrado, siendo este el máximo valor observado en los exponentes de los literales. Un ejemplo de este tipo de ecuación, en su forma reducida, sería la siguiente:

ax² + bx + c = 0

Con respecto a este tipo de ecuación, las distintas fuentes han señalado que estas expresiones se consideran conformadas por dos diferentes tipos de componentes:

• Elementos: en esta categoría también se podrá hablar de dos subtipos: por un lado, se encontrarán los coeficientes a, b y c, constituidos siempre por elementos numéricos; por otro lado, en este tipo de ecuaciones también se encontrarán la incógnita, representada generalmente por la letra x.
• Términos: de igual forma, en las ecuaciones de segundo grado, habrá también la presencia de tres distintos términos, los cuales han sido explicados de la siguiente forma:

• ax² → término cuadrático, encargado de señalar el grado de esta ecuación.
• bx → término lineal
• c → término independiente, denominado así por no contar con la compañía de elementos literales.

La presencia o ausencia de estos términos, es específico del término lineal y el término independiente, hará que esta clase de ecuación se clasifique en ecuaciones de segundo grado completas y ecuaciones de segundo grado incompletas. Así también, la disciplina matemática ha señalado que este tipo de expresiones pueden ser consideradas igualmente como polinomios de segundo grado.

Ecuaciones tricuadradas

Por último, se tomará un momento para traer a capítulo el concepto de Ecuaciones tricuadradas, las cuales han sido explicadas, de forma general, como uno de los casos especiales que pueden encontrarse en cuanto a las ecuaciones de grado superior a dos. Igualmente, las Matemáticas han señalado que las ecuaciones tricuadradas se distinguirán por contar con las siguientes características:

1.- El exponente de mayor valor en sus literales resulta igual a 6.

2.- En este tipo de ecuaciones no existe presencia de ningún término de quinto, cuarto o segundo grado.

3.- Por ende, las Ecuaciones tricuadradas sólo cuentan con el término de sexto grado, el de tercer grado y el término independiente, teniendo entonces la siguiente forma:

ax⁶ + bx³ + c = 0

Así mismo, los distintos autores han señalado que este tipo de ecuaciones deberán ser resueltas siguiendo los pasos, que se mencionan a continuación:

1.- Siendo una ecuación de grado superior a dos, se buscará reducir la ecuación tricuadrada a una ecuación de segundo grado. Para esto se aplicará el método de las sustituciones:

2.- Al lograrse la ecuación de segundo grado, se aplica entonces la fórmula general para este tipo de ecuaciones, consiguiendo entonces dos posibles soluciones: Z₁ y Z₂.

3.- Con estas soluciones a disposición, se recuerda que se debe emplear el método de sustitución, obteniéndose entonces las soluciones de la ecuación:

Ejemplo de cómo solucionar ecuaciones tricuadradas

Una vez se han revisado estas definiciones, puede que ciertamente sea mucho más sencillo aproximarse a un ejemplo concreto, en donde se vea en la práctica la aplicación de cada uno de los pasos señalados por la teoría para resolver ecuaciones tricuadradas. A continuación, el siguiente ejercicio:

8x⁶ + 63x³ – 8 = 0

Lo primero que se hace es revisar los términos de la ecuación, para así poder determinar que en efecto se trata de una ecuación tricuadrada. Corroborado esto, se procede entonces a buscar su reducción a una ecuación de segundo grado, lo cual se logra por medio del método de la sustitución:

Con esta ecuación de segundo grado, se aplicará entonces la fórmula general:

Llegada a esta expresión, entonces se pueden obtener dos distintas soluciones:

Teniendo estas respuestas, se recuerda el método de sustitución:

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