Definiciones fundamentales

En este sentido, es probable que lo más conveniente sea comenzar por la propia definición de Diferencia Simétrica, a fin de poder tener presente en qué consiste la operación en donde tienen lugar la Propiedad de la Nilpotencia. Así mismo, será necesario definir esta propiedad, revisando lo que ella señala. A continuación, cada uno de los conceptos:

Diferencia simétrica

Con respecto a la definición de la Diferencia simétrica, el Álgebra de conjuntos ha señalado que esta puede ser interpretada como una operación básica en donde dos colecciones establecen una comparación entre ellas, dando como origen un tercer conjunto, que estará conformado por aquellos elementos que estando en el primero no puede encontrarse en el segundo, y viceversa. Explicado más específicamente, la Diferencia simétrica será entonces una operación del Álgebra de conjuntos en donde un conjunto A y un conjunto B dan como origen un conjunto A ∆ B, el cual estará constituido por aquellos elementos que están en A pero no tienen semejante en B, así como todos aquellos que están en B pero que no tienen semejante en A.

Propiedad de la Nilpotencia

Por otro lado, el Álgebra de conjuntos también ha promulgado una definición para la Nilpotencia, la cual es entendida como una propiedad o ley matemática, que tiene lugar en la operación de Diferencia simétrica, según la cual cada vez que un conjunto cualquiera establezca una operación de Diferencia simétrica consigo mismo, el resultado será siempre y en todo momento igual al conjunto vacío. Esta situación puede explicarse precisamente porque al ser el mismo conjunto el que participa en la operación, no podrá encontrarse ningún elemento que estando en el primer conjunto no esté en el segundo, de ahí que el conjunto que se produzca de esta operación no cuente con ningún elemento, es decir, sea el Conjunto vacío.

Ejemplos de la propiedad de la Nilpotencia

Con estas definiciones presentes, será mucho más sencillo abordar entonces cada uno de los ejemplos que se pueden encontrar en relación con esta propiedad matemática, y que permitirán ver cómo se cumple en la práctica aquello que dicta la teoría. A continuación, algunos ejemplos de cómo se cumple la Propiedad de la Nilpotencia en la Diferencia simétrica:

Ejemplo 1

Dado un conjunto A, conformado por nombres de animales cuadrúpedos: A= {Perro, Elefante, Rinoceronte, Gato, Ratón, Gato, Zorro} comprobar cómo se cumple la Propiedad de la Nilpotencia.

Para dar cumplimiento a esta solicitud será necesario someter el conjunto dado a una Diferencia Simétrica con él mismo, para lo cual se deberá comenzar por expresar esta  operación:

A= {Perro, Elefante, Rinoceronte, Gato, Ratón, Gato, Zorro}

A ∆ A=
A ∆ A= {Perro, Elefante, Rinoceronte, Gato, Ratón, Gato, Zorro} ∆ {Perro, Elefante, Rinoceronte, Gato, Ratón, Gato, Zorro}

Hecho esto, se deberá comenzar a comparar cada uno de los conjuntos, a fin de determinar cuál de los elementos aparece sólo en uno de ello. Por su puesto al tratarse del mismo conjunto, no podrá hallarse ningún elemento que cumpla con esta característica, por lo que el conjunto que se origina no cuenta con ningún elemento, es decir, es el Conjunto vacío:

A ∆ A= ∅

Por ende, además de encontrar el resultado correcto a esta operación, se puede asumir que ha sido comprobada la Propiedad de la Nilpotencia en la Diferencia Simétrica.

Ejemplo 2

Dado un conjunto B, en donde puedan contarse como elementos frutas en general: B= {Níspero, Uva, Melón, Sandía, Naranja, Mandarina, Toronja} realizar una operación de Diferencia Simétrica con él mismo, y comprobar si realmente se cumple la Propiedad de la Nilpotencia.

Igualmente, se seguirán los pasos de expresar la operación, comparar los conjuntos, buscando elementos que aparezcan en un conjunto y en otro no, lo que en este caso simplemente conducirá a encontrarse con el Conjunto vacío:

B= {Níspero, Uva, Melón, Sandía, Naranja, Mandarina, Toronja}

B ∆ B=
B ∆ B= {Níspero, Uva, Melón, Sandía, Naranja, Mandarina, Toronja} ∆ {Níspero, Uva, Melón, Sandía, Naranja, Mandarina, Toronja}

B ∆ B= ∅

Ejemplo 3

Dado un conjunto C, conformado por nombres femeninos que comiencen por la letra “a”: C= {Andrea, Amaranta, Antonia, Aura, Adela, Angélica, Amelia} comprobar cómo se cumple la Propiedad de la Nilpotencia en la Diferencia Simétrica:

C= {Andrea, Amaranta, Antonia, Aura, Adela, Angélica, Amelia}

C ∆ C=

C ∆ C= {Andrea, Amaranta, Antonia, Aura, Adela, Angélica, Amelia} ∆ {Andrea, Amaranta, Antonia, Aura, Adela, Angélica, Amelia}

C ∆ C= ∅

Como en todos los casos, es imposible, al comparar estos conjuntos –esencialmente por ser el mismo conjunto- encontrar un solo elemento que apareciendo en el primero no encuentre semejante en el segundo de ellos, por lo que se concluye entonces que de la operación sólo puede generarse un conjunto en donde no puede distinguirse ningún elemento, es decir, que el resultado de esta operación es el Conjunto vacío.

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