Orden descendente

En este sentido, uno de los órdenes que puede asumir un polinomio según los grados de sus términos será el orden descendente, el cual puede ser definido como la disposición de términos que se hace en un polinomio, cuando los términos se despliegan desde el grado mayor al grado menor. Así mismo, en este orden, si el polinomio cuenta con términos independientes, estos serán los que ocupen siempre el último lugar de la disposición, puesto que por regla general se asume que este término cuenta con un grado igual a cero (0).

Orden descendente en polinomios de una sola variable

No obstante, la única diferencia a la hora de ordenar un polinomio no lo marca el orden ascendente o descendente que pueda adquirir un polinomio, sino que también  dependerá de la cantidad de variables que se pueden ver en cada uno de los términos. En cuanto a los polinomios en cuyos términos sólo se puede ver una sola variable, la teoría algebraica asume que se deben seguir los siguientes pasos:

• Determinar cuál es el valor del mayor exponente al que se encuentre elevada la única variable.
• Determinar cuál es el valor del menor exponente al que se encuentre elevada la variable en todos sus términos.
• Si el término llegara a tener un término independiente, se asumirá que el grado de éste es igual a 0 por lo que también será el término de menor grado, y el que debe colocarse en último lugar.
• Identificados estos parámetros, se deberán disponer los elementos, empezando por el de mayor grado hasta el de menor grado, respetando los signos de cada uno de ellos, en caso de encontrar polinomios donde puedan encontrarse términos con distintos signos.

Ejemplos de orden descendente en polinomio de una variable

No obstante, la mejor forma de poder visualizar estas definiciones será a través de algunos ejemplos, que sirvan para colocar en la práctica lo que el Álgebra elemental plantea en su teoría. A continuación, algunos de ellos:

Dado el polinomio P_(x)= 6x – 7x² + 5 – x³ + 8x⁴  ordenar de forma descendente

En este caso, se deberán revisar cada uno de los exponentes a los cuales se encuentra elevada la variable x, a fin de determinar tanto el mayor como el menor. Según lo observado entonces, el mayor grado será 4, mientras el menor de ellos será 1. Sin embargo, como el polinomio cuenta también como un término independiente, se tendrá que éste, con su grado cero, será el polinomio que ocupe el último puesto, en el orden descendente. Determinados estos límites, se procede a hacer la disposición de los términos según el valor de sus exponentes, desde el mayor hasta el menor:

P_(x)= 6x – 7x² + 5 – x³ + 8x⁴ → P_(x)= 8x⁴– x³ – 7x² + 6x + 5

Dado el polinomio P_(y)=  4y³ – 5y⁴ + 2y⁵ –  y² –  2y ordenar de forma descendente

Igualmente, en este caso se deberá revisar los exponentes a los que se encuentra elevada la variable y en cada una de sus términos. Al hacerlo, se puede encontrar entonces que el mayor grado corresponderá a 5 mientras que el menor grado será igual a 1. Como el polinomio no cuenta con un término independiente, no se puede hablar de un término que tenga grado cero. Identificados estos parámetros, se podrá organizar el polinomio desde el término de mayor grado al de menor, es decir, de forma descendente:

P_(y)=  4y³ – 5y⁴ + 2y⁵ –  y² –  2y →  P_(y)=  2y⁵ – 5y⁴+ 4y³ –  y² –  2y

Dado el polinomio  P_(a)= a – a² + a⁵ + 3 ordenar de forma descendente

Aun cuando en cada uno de los términos no pueda hallarse existencia de coeficientes, de igual forma se debe reparar en los grados o exponentes a los que se encuentra elevada la variable a en cada uno de los términos. En este caso, se trata de un grado mayor igual a 5, mientras que el grado menor está elevado a 1. No obstante, como existe un término independiente, el grado de éste será igual a 0. Una vez determinados estos límites, se deberá organizar los polinomios de forma descendente, es decir, desde el término de mayor grado al de menor, respetando los signos que cada término tenía en su disposición original:

P_(a)= a – a² + a⁵ + 3 → P_(a)= a⁵– a² + a + 3

Otros casos que pueden servir de ejemplo a la operación de ordenamiento de polinomios de una variable pueden ser los siguientes:

Dado el polinomio P_(x) = 4 – 8 + 12 – x + 2x³ – 4x² ordenar de forma descendente

P_(x) = 4 – 8 + 12 – x + 2x³ – 4x² → P_(x) = 2x³ – 4x²– x + 12 – 8 + 4

Dado el polinomio P_(a)=  4a³ – a² + 5a⁵ – a + 12 ordenar de forma descendente

P_(a)=  4a³ – a² + 5a⁵ – a + 12 → P_(a)=  5a⁵+  4a³ – a²– a + 12

Dado el polinomio P_(x)= 5x – 4 + 6x⁴ ordenar de forma descendente

P_(x)= 5x – 4 + 6x⁴ → P_(x)= 6x⁴ + 5x – 4

Dado el polinomio P_(z) =  z – 2z² + 3z⁴ – 3z² + 5z – 6z³ + 23 – 5  ordenar de forma descendente

P_(z) =  z – 2z² + 3z⁴ – 3z² + 5z – 6z³ + 23 – 5   →  P_(z) =  3z⁴– 6z³ – 3z² – 2z² + 5z +z + 23 – 5

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