Definición de Polinomio

En este sentido, el primer concepto que debe abordarse es el del Polinomio, concebido por el Álgebra elemental como la expresión algebraica compleja, compuesta en base a un conjunto de monomios (combinación de letras y números entre los que no caben operaciones de suma, resta o división) unidos entre sí, generalmente por operaciones de suma, y en algunos casos por operaciones de resta o multiplicación, estando totalmente excluidas las operaciones de división.

Elementos del polinomio

Así mismo, esta disciplina matemática asume al Polinomio como una suma finita de monomios, en la cual pueden distinguirse cuatro elementos esenciales, cada uno de los cuales cuenta con su propia definición y misión, tal como muestra la gráfica y las explicaciones que se muestran a continuación:

• Términos: están constituidos por cada uno de los monomios que se suman –y en algunos casos se restan o multiplican- entre sí. Además de constituir al polinomio, su cantidad hace que esta expresión algebraica pueda ser clasificada igualmente en binomios (expresión en donde se distinguen dos términos); trinomios, o polinomios.
• Coeficientes: así mismo, los coeficientes estarán constituidos por los números que se encuentran unidos a las variables, estableciendo con ellas operaciones de multiplicación. Su misión es precisamente indicar la cantidad por la que debe multiplicarse la variable en cao de ser despejada, o de que en algún momento se le asigne un valor numérico.
• Término independiente: por su parte, el término independiente estará compuesto por un número que no se encuentra unido a ninguna variable. Al no hacerlo, se asume que su grado es cero.
• Grado del polinomio: finalmente, el grado del polinomio estará compuesto por el máximo valor que pueda observarse entre los exponentes de las variables de cada término. En cuanto a su utilidad, el grado del polinomio puede servir para propiciar una clasificación en base a él (polinomios de primer grado, polinomios de segundo grado, etc.) así también como elementos de referencia a la hora de establecer un orden dentro de la expresión.

Ejemplos de polinomios de segundo grado

Con estas definiciones en claro, será mucho más fácil comprender la definición de polinomio de segundo grado, conocido también como polinomio cuadrático, y que es concebido por el Álgebra elemental como aquel polinomio cuyo mayor grado observado en sus términos es equivalente al exponente 2. No obstante, a fin de entender de forma práctica este concepto, lo mejor será revisar también algunos casos que puedan servir de ejemplos, tal como los que se muestran a continuación:

P_(x) =  8x – 2x²

En este caso, se puede observar un binomio (expresión compuesta por dos monomios entre los cuales se realiza una operación, en este caso de resta) en donde cada término presenta una variable x, elevada en el primer término a 1, y en el segundo a 2. Siendo entonces de los dos exponentes el mayo el número 2, se concluye que ese es el grado del polinomio, por lo que este término puede ser catalogado entonces como un polinomio de segundo grado o cuadrático.

P_(x,y) =  4x – 5xy + 3

Por su parte, esta expresión constituye un trinomio (conjunto de tres monomios entre los que se realizan operaciones). Como novedad adicional, se trata de un polinomio de dos variables, es decir, la variable x, y la variable y. En el primer término, se observa una sola variable, por lo que determinar el grado de esta resulta muy sencillo, pues consiste simplemente en reparar en cuál es el exponente al que se encuentra elevada, el cual es igual a 1. En el segundo término, en cambio existen dos variable, por lo que para saber el grado de esta término será necesario sumar los exponentes de cada una de las variables, lo que en este caso será 1+1=2, por ende el grado del segundo término es 2. Al ser el tercer término un término independiente, cuyo grado es cero, se tiene entonces que el mayor grado observado en el polinomio es el del segundo término, es decir, 2. Por ende, este polinomio puede ser entendido como un polinomio de segundo grado o cuadrático.

A continuación, otros ejemplos de polinomios de segundo grado:

P_(x) =  2x – 1

P _(x) =  3x² + 3

P_(a,b)=  2a –  3b  + 4ab – 5a² – 2

P_(xy) =  3xy – 5

P _(x) =  x – 2x +4x²

P_(y) =   2y – 3y² + y – 2

P_(a) =  3a² – a + 2

P_{(x, y)} =  5xy

P_(y) = y + 3 + 2y²

P_(x) =  5x² + 5

Como puede verse, en cada uno de los casos expuestos, al calcular el grado de cada uno de los polinomios, bien porque sea un polinomio de una sola variable, en donde baste reparar en el exponente de mayor valor, o se necesite sumar los exponentes en términos en donde existan dos variables, el resultado en todos los ejemplos será 2. Por ende, todos los polinomios de la lista son polinomios de segundo grado, o polinomios cuadráticos.

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