Definiciones fundamentales

No obstante, a fin de poder entender realmente este concepto, así como los ejemplos que pueden desprenderse de ellos, será necesario revisar algunas definiciones, que establezcan el contexto teórico de los ejercicios que se presentarán posteriormente:

Polinomio

En este sentido, resulta entonces pertinente comenzar por abarcar la propia definición de Polinomio, el cual es concebido por el Álgebra elemental como una expresión algebraica compleja, que puede ser tenida como un conjunto finito de monomios, entre los cuales se establecen operaciones de adicción, aunque también se pueden estableces –a pesar de ser en menor grado- de sustracción y multiplicación, siendo entonces la operación de división, la única que no es aceptada entre los términos.

Elementos del polinomio

Así mismo, esta disciplina matemática señala igualmente que a pesar de que los monomios son los elementos que conforman al polinomio, en estas expresiones algebraicas puede también encontrarse cuatro elementos, cada uno de los cuales con una definición y función particular, tal como puede verse a continuación:

• Términos: cada uno de los sumandos que pueden identificarse dentro del polinomio, es decir, que dentro de esta categoría se encuentran tanto los monomios como los términos independientes.
• Términos independientes: así mismo, con este nombre, se reconocen aquellos términos en donde no puede encontrarse presencia alguna de variable. Son considerados de grado 0.
• Coeficientes: por su parte, los coeficientes son los elementos numéricos que acompañan a las variables. Su función, básicamente es indicar cuál es la cantidad por la que debe multiplicarse la variable, en caso de que asuma un valor numérico.
• Grado: finalmente, el Grado del polinomio estará determinado a su vez por el máximo grado que pueda encontrarse en alguno de sus términos. No obstante, las características del polinomio determinarán igualmente la forma en que este elemento será calculado. En este sentido, se podrá diferenciar básicamente entre polinomios de una variable, en donde saber el grado de cada término bastará con observar el valor de los exponentes a los que se encuentran elevadas las variables, identificando al mayor como el grado del polinomio; o los polinomios de más de una variable, en donde será necesario sumar los valores de los exponentes de cada término, a fin de obtener el grado absoluto de cada término, para compararlos, e identificar cuál es el grado de mayor valor, considerándolo entonces el grado del polinomio.

Ejemplos de Polinomios heterogéneos

Por consiguiente, para identificar cuáles polinomios pueden ser considerados heterogéneos será necesario revisar el grado de cada uno de sus términos, comparándolos entre sí, a fin de comprobar que realmente no existe coincidencia entre ellos. Sin embargo, la mejor forma de entender estas definiciones, puede ser a través de la exposición de algunos ejemplos, que permitan llevar dichos conceptos a la práctica. A continuación, algunos de ellos:

Dado el polinomio P_(x)= 3x² – x⁴ + 5x – 4 determinar si se trata de un Polinomio heterogéneo

Para cumplir con lo expuesto en el postulado, será necesario comenzar por revisar la expresión algebraica, para determinar ante qué clase de polinomio se está, pues esto determinará la forma en que serán calculados los grados de cada término. En este caso, se trata de un polinomio de una variable, por lo que para determinar los grados de cada término será necesario simplemente revisar cada uno de los exponentes. Por ende, se tendrán los siguientes grados: 2, 4, 1, 0. Al revisar los valores, se puede ver entonces cómo ninguno coincide entre ellos, por lo tanto, el polinomio P_(x)= 3x² – x⁴ + 5x – 4 puede ser considerado como un polinomio heterogéneo.

Dado el polinomio P_(x,y,z)= xyz² – 5xy + 3 – 6x²yz² determinar si se trata de un Polinomio heterogéneo

Por su parte, en este polinomio pueden observarse términos de más de una variable, por lo que para calcular el grado de cada uno de ellos será necesario sumar los exponentes a los que se encuentran elevadas las variables de cada uno de los términos:

xyz² → 1+1+2= 4
– 5xy→ 1+1= 2
3 → 0
– 6x²yz² → 2+1+2= 5

Al revisar cada uno de los grados absolutos de los términos, se puede concluir que no existe coincidencia alguna entre ellos, por lo que le Polinomio puede ser considerado como un Polinomio heterogéneo.

Dado el polinomio P_(x,y)= 2xy – 4 +5x² – 6xy³ – x²y³ determinar si se trata de un Polinomio heterogéneo.

Igualmente, en este caso será necesario, por ser un polinomio de más de una variable, calcular el valor de los grados de cada uno de los términos, lo que se hará también sumando los valores de sus exponentes:

2xy → 1+1= 2
– 4 → 0
5x² → 2
– 6xy³ → 1+3= 4
– x²y³ → 2+3= 5
En este caso en particular sucede que aun cuando la mayoría de los grados absolutos no coinciden entre sí, el primer y tercer término sí cuentan con el mismo grado. Sin embargo, al ser diferentes de los otros, el polinomio puede seguir siendo considerado como un polinomio heterogéneo.

Otros casos que pueden servir como ejemplo de polinomios heterogéneos son los siguientes:

Dado el polinomio P_(x)= 5x²– x⁴ + x³ – 4 + x determinar si se trata de un Polinomio heterogéneo
Los grados de los términos de este polinomio son: 2, 4, 3, 0, 1. Al no haber coincidencia entre ellos, se determina que el polinomio es heterogéneo.

Dado el polinomio P_(x,y)= 5xy – 3 determinar si se trata de un polinomio heterogéneo
En este caso, sólo uno de los términos cuenta con dos variables. Para determinar su grado, se sumarán los exponentes de cada una de ellas: 5xy → 1+1=2. El otro término cuenta con grado igual a 0. Por ende, ninguno de los dos términos coincide en sus grados, por lo que el polinomio es en efecto heterogéneo.

Dado el polinomio P_(y)= y –y² + y⁴ determinar si se trata de un polinomio heterogéneo
Al ser un polinomio de una sola variable, se examinarán los exponentes a los que esta se encuentra elevada, siendo respectivamente: 1,2,4. Al revisarse estos exponentes, identificados como los grados de cada uno de estos términos, se tendrá entonces que el polinomio no es heterogéneo.

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