Definiciones fundamentales

Sin embargo, para entender de forma más completa esta definición, quizás deba recurrirse a la opción de revisar algunos conceptos que surgen como cruciales para tener una base teórica sólida, así como la idea de un contexto claro, con respecto a este tipo de polinomios. A continuación, algunos de ellos:

Polinomio

Por consiguiente, es probable que deba empezarse entonces por la propia definición de Polinomio, el cual puede ser concebido como una expresión algebraica compleja, constituida por una serie de monomios, entre los cuales se establecen operaciones de suma, resta y multiplicación, quedando totalmente por fuera la posibilidad de realizar operaciones de división entre el grupo de monomios que construyen esta expresión algebraica.

Elementos del polinomio

Así mismo, el Álgebra elemental señala que en los polinomios pueden identificarse cuatro elementos básicos, cada uno de los cuales cuenta con su propia definición, ubicación y función dentro del polinomio, tal como puede observarse en la imagen y los conceptos que se presentan a continuación:

• Términos: cada uno de los sumandos que conforman el polinomio. En este sentido, no se puede decir que los términos se encuentren conformados solamente por los monomios, puesto que dentro de esta categoría también incluye los términos independientes.
• Coeficientes: por su parte, los coeficientes serán aquellos elementos numéricos que se encuentren en compañía de las distintas variables. Su misión, de acuerdo a lo que establecen las diferentes fuentes teóricas, radican en señalar la cantidad por la que debe ser multiplicado el literal, en caso de asumir un valor numérico.
• Términos independientes: en contravía, los términos independientes serán aquellos elementos numéricos que no se encuentren acompañados por ninguna variable. Respecto a los términos independientes, las fuentes teóricas también señalan que estos cuentan siempre y en toda circunstancia con un grado cero (0).
• Grado: por último, el grado del polinomio puede ser definido como un elemento, constituido en base al valor que tenga el máximo grado encontrado en alguno de los términos que constituyen el monomio. Este elemento cumple funciones de guía a la hora de determinar el orden dentro del polinomio, entre otras características y relaciones.

Ejemplos de polinomios iguales

Revisadas estas definiciones será entonces mucho más sencillo entender la definición de Polinomios iguales, tipo de polinomios entendidos como aquellas expresiones algebraicas, que cuentan entre ellas con total coincidencia en cuanto a cada uno de sus elementos, es decir, que coinciden tanto en sus coeficientes, variables y grados. No obstante, quizás la forma más eficiente de entender este tipo de polinomios sea a través de los ejemplos, como estos que se muestran a continuación:

Dados los polinomios P_(x)= 3x³ – 4 + 8x – x² + 6x⁴  y Q_(x)= 8x + 6x⁴ + 3x³ – 4 – x² determinar si se tratan de polinomio iguales.

En ocasiones puede que los polinomios presentados, a simple vista no parezcan ser iguales, puesto que el orden original de cada uno no propicie la vista más adecuada. Por lo tanto, al momento de decidir si dos polinomios son iguales o no, lo mejor será procurar igual orden a ambas expresiones, tal como se hará a continuación, en donde cada polinomio será ordenado de forma descendente:

P_(x)= 3x³ – 4 + 8x – x² + 6x⁴   →  P_(x)=  6x⁴+ 3x³ – x² + 8x  – 4
Q_(x)= 8x + 6x⁴ + 3x³ – 4 – x²   → Q_(x)=  6x⁴+ 3x³ – x² + 8x  – 4

Comparando nuevamente ambos polinomios, se tendrán entonces las siguientes expresiones:

P_(x)=  6x⁴+ 3x³ – x² + 8x  – 4  Y  Q_(x)=  6x⁴+ 3x³ – x² + 8x  – 4

Al revisarlas, se puede observar como estos dos polinomios coinciden entre ellos en cada uno de sus elementos, por lo que pueden considerarse entonces como Polinomios iguales.

Dados los polinomios P_(x,y) = 3 – xy³ + xy – 5x²y²  y  Q_(x,y) = – 5x²y² + 3+ xy – xy³ determinar si se tratan de polinomios iguales.

En este caso, también se deberá proceder a ordenar en el mismo sentido ambos polinomios. Sin embargo, tomando en cuenta que se trata de polinomios de más de una variable, será necesario entonces escoger una letra ordenatriz, la cual servirá de guía en la operación de ordenamiento. Para estos dos polinomios, se escogerá entonces la letra y, teniendo entonces las siguientes expresiones:

P_(x,y) = 3 – xy³ + xy – 5x²y²   →   P_(x,y) = – xy³ – 5x²y²+ xy + 3
Q_(x,y) = – 5x²y² + 3+ xy – xy³ → Q_(x,y) = – xy³ – 5x²y²+ xy + 3

Una vez organizados cada uno de los polinomios, se deberán comparar nuevamente las expresiones:

P_(x,y) = – xy³ – 5x²y²+ xy + 3  Y  Q_(x,y) = – xy³ – 5x²y²+ xy + 3

Al hacerlo, se puede ver cómo cada uno de los polinomios cuentan coinciden por completo en cada uno de sus términos, por lo que se pueden considerar polinomios iguales.

Otros casos que pueden servir como ejemplos de polinomios iguales son los siguientes:

P_(x)= x⁴ – x³ – 2x² + x – 2    Y   Q _(x)= x⁴ – x³ – 2x² + x – 2

P_(x,y,z)=  xyz³ + 2x²y² – xy² +5x + 4   Y   Q_(x,y,z)=  xyz³ + 2x²y² – xy² +5x + 4

P_(a)=  5x³ – x² + x      Y    Q_(a)=  5x³ – x² + x

P_(x) =   4x³ – 2    Y   Q_(x)=  4x³ – 2

P_(a,b)=  ab³ – b + 5    Y   Q_(a,b)= ab³ – b + 5

P_(x)=  x² – 3      Y     Q_(x)=  x² – 3

P_(x)=  5x⁴ – x³ + 2x² – 7    Y   Q_(x)=  5x⁴ – x³ + 2x² – 7

P_(a,b,c)=  2abc  – 2ab + 5a – 9   Y   Q_(a,b,c)=  2abc  – 2ab + 5a – 9

P_(x) =  3x⁶ – x⁵ + 14   Y   Q_(x) =  3x⁶ – x⁵ + 14

P_(x) =   2x + x    Y   Q_(x) =   2x + x

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