Ejemplos de resolución de ecuaciones con denominadores

Definiciones fundamentales

Por consiguiente, también se optará en delimitar esta revisión teórica a tres nociones específicas: Ecuaciones, Ecuaciones de primer grado y Resolución de ecuaciones de primer grado con denominadores. A continuación, cada una de estas definiciones:

Ecuaciones

De esta manera, se comenzará por decir que las Matemáticas han explicado las Ecuaciones como un tipo de igualdad literal, en donde ocurre que el literal constituye una incógnita, que cuenta con la posibilidad de asumir un solo valor, para que la igualdad planteada desde un principio pueda cumplirse. Un ejemplo de Ecuación podría ser el siguiente:

x + 5 = 15

Suponiendo que se tenga esta igualdad, en donde la x se muestra como incógnita, y se quisiera comprobar si puede asumir cualquier valor, o si tan solo tiene la posibilidad de asumir uno solo, bastará con sustituir por distintos valores la incógnita, a fin de comprobar si se cumple o no la igualdad planteada:

2 + 5 = 15  →  7 ≠ 15
3 + 5 = 15 → 8 ≠ 15
5 + 5 = 15 → 10 ≠ 15
10 + 5 = 15 → 15 = 15
20 + 5 = 15 → 25 ≠ 15

Al hacerlo, se puede comprobar entonces cómo la igualdad sólo se cumple cuando x asume un valor igual a 10. Por ende, siendo una igualdad en donde la x corresponde tan solo a un valor, se considera que la operación es una Ecuación. Por el contrario, si la x pudiese asumir cualquier valor, y aun así cumplirse la igualdad, la expresión sería entonces una Identidad.

Ecuaciones de primer grado

En segundo lugar, también se tomará un momento para revisar el concepto de Ecuaciones de primer grado, las cuales han sido explicadas por los distintos autores como aquellas igualdades literales, en donde además de que la x o el literal cuentan tan solo con un valor, también ocurre que este elemento se encuentra elevado a la unidad.

Por convención, cuando un elemento de la ecuación se encuentra elevado a este exponente, no se anota, sino que se da por sobreentendido. Si por otro lado se diera el caso de que la Ecuación cuenta con varios literales, si es de primer grado, entonces todos estos elementos se encontrarán elevados a la unidad.

Resolución de ecuaciones de primer grado con denominadores

Finalmente, también se lanzarán luces sobre la forma correcta en que debe resolverse toda ecuación de primer grado en donde exista presencia de denominadores, es decir, toda igualdad literal en donde el literal cuenta con tan solo un valor, al tiempo que está elevado a la unidad, y además existen fracciones. A continuación, cada uno de los pasos que deben seguirse para la solución de este tipo de igualdades, de acuerdo a las distintas fuentes:

1. Lo primero que deberá hacerse al momento de resolver una de estas ecuaciones, será calcular cuál es el m.c.m de los denominadores.
2. Así también, se procede entonces a multiplicar cada uno de los dos miembros de la ecuación por este m.c.m.
3. Se resuelven los paréntesis por medio de la propiedad distributiva.
4. Se busca aislar la x en el primer término. Por ende, se trasponen todos los elementos que contengan el literal al primer término. Al hacerlo, pasan con signo contrario.
5. Igualmente, se trasponen aquellos elementos numerales del primer término al segundo término.
6. Por medio del proceso de simplificación de términos semejantes, se simplifican los elementos del literal.
7. Se resuelven las operaciones planteadas entre los literales. Se busca aislar la x.
8. Se determina el valor de x.
9. Se comprueba si la operación ha sido correctamente resuelta. Para esto bastará con sustituir a x, en la igualdad original, por el valor obtenido, y resolver la igualdad, a fin de ver si realmente se cumple.

Ejemplo de cómo resolver Ecuaciones de primer grado con denominadores

Una vez se han revisado estas definiciones, puede que ciertamente sea mucho más sencillo aproximarse a algunos casos, que servirán de ejemplo claro a la forma en que debe ser resuelta toda ecuación de primer grado, en donde existan además denominadores. A continuación, los siguientes ejercicios:

Ejercicio 1

Resolver la siguiente ecuación:

Lo primero que debe hacerse es calcular el m.c.m de los denominadores:

Se toma entonces este m.c.m y se divide entre cada denominador, el resultado se multiplica por los numeradores, eliminando los denominadores, y obteniendo los nuevos elementos de la multiplicación:

12 : 4 = 3
12 : 3 = 4
12 : 2 = 6

3 (x – 1) + 4 (x) = 6 (x + 1)
3x – 3 + 4x = 6x + 6

Obtenida esta igualdad, se procede a trasponer todos los elementos literales hacia el primer término, recordando que deben pasar entonces con signo contrario:

3x – 3 + 4x = 6x + 6
3x -3 + 4x – 6x = 6

Igualmente, se trasponen todos los elementos numerales hacia el segundo término:

3x + 4x – 6x = 6 + 3

Se simplifica el primer término, haciendo reducción de términos semejantes:

(3 + 4 – 6)x = 6 + 3

Se resuelven las operaciones planteadas:

1x = 9
x = 9 : 1
x = 9

Por último, se comprueba la operación, sustituyendo el valor de x en la igualdad original, y resolviéndola:

Ejercicio 2

Resolver la siguiente ecuación:

10 : 5 = 2
10 : 1= 10
10 : 2 = 5

2 (2x – 3) + 10 (x – 1) = 5 (3x – 4)
4x – 6 + 10x – 10 = 15x – 20
4x -6 + 10x – 10 -15x = -20
4x +10x – 15x = -20 + 6 + 10
(4 + 10 – 15)x = -20 + 16

-1x = -4
x = -4 : -1

x = 4

Comprobación

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