Definiciones fundamentales

Por consiguiente, será también necesario delimitar esta revisión teórica a tres nociones específicas: Binomios, Productos notables y Suma de cubos, por encontrarse directamente relacionadas con los ejemplos que se estudiarán posteriormente. A continuación, cada una de estas definiciones:

Binomios

De esta manera, podrá comenzarse por decir que los Binomios han sido explicados por las Matemáticas, de forma general, como una expresión algebraica, compuesta por la suma o resta de dos monomios, es decir, de dos términos algebraicos, los cuales se encuentran constituidos a su vez por un elemento numérico y un elemento literal entre los que se establece una multiplicación, siendo esta la única operación admitida entre ellos.

Por ende, los Binomios pueden ser explicados también como polinomios de dos términos. Algunos ejemplos de esta clase de expresión matemática será la siguiente:

2x² – 5 =
x + y=
3a³ + b² =

Productos notables

Así mismo, será necesario lanzar luces sobre el concepto de Productos notables, los cuales han sido explicados por los distintos autores como un conjunto de reglas matemáticas, cuyo propósito es conseguir de forma directa la factorización de polinomios, es decir, el proceso de convertir un polinomio en un producto.

Entre las distintas ventajas relacionadas con los Productos notables se encuentra la de permitir la realización de multiplicaciones entre polinomios de forma directa y rápida, evitando así que se deba procesar cada uno de los números, por lo que entonces por un lado se ahorra tiempo, y por otro, se evitan la aparición de algunos errores.

Suma de cubos

Finalmente, se traerá a capítulo el concepto de Suma de cubos, el cual ha sido señalado, de forma general, como uno de los distintos productos notables, que se encuentran en torno a la factorización, o descomposición de términos en factores.

Ya de forma mucho más específica, la Suma de cubos señala que siempre que se tenga un binomios, en donde los elementos pueden ser expresados como cubos que se suman, entonces esta expresión podrá ser factorizada, como la suma de los elementos por el cuadrado imperfecto de su diferencia, es decir, por el cuadrado del primer término, menos el producto de los términos, más el cuadrado del segundo término. Esta fórmula puede expresarse matemáticamente de la siguiente manera:

a³ + b³ = (a + b) . (a² – ab + b²)

En consecuencia, los pasos para realizar una suma de cubos serán los siguientes:

1.- Descomponer en factores primos los términos del binomio, para expresar ambos monomios como potencias de tres.
2.- Aplicar a los términos obtenidos la fórmula de la Suma de cubos.
3.- Expresar el resultado obtenido.

Ejemplos de Suma de cubos

Toda vez se han revisado estas definiciones, podrá comenzarse por exponer algunos ejemplos precisos sobre la forma específica que debe aplicarse este producto notable, cada que vez que se desee factorizar la suma de cubos. A continuación, los siguientes ejercicios:

Ejemplo 1

Factorizar la siguiente expresión:

x³ + 1 =

En este caso, lo primero que debe hacerse es revisar la naturaleza del binomio. Al hacerlo, se descubre que el primer elemento es expresado como un cubo, mientras que el segundo también puede serlo. Se descompone en factores los elementos, o se expresan como una suma de cubos:

x³ + 1³ =

Ahora, lo que corresponde, para seguir el camino a la factorización es aplicar la fórmula matemática concerniente a este producto notable:

a³ + b³ = (a + b) . (a² – ab + b²)

x³ + 1³ = (x + 1) . (x² – x . 1 + 1²)

Se considera entonces factorizado el binomio, por lo que se procede a exponer los resultados obtenidos:

x³ + 1 = (x + 1) . (x² – x . 1 + 1²)

Ejemplo 2

Descomponer en factores el siguiente binomio:

x⁶ + 64 =

Lo primero que debe hacerse en este caso es entonces descomponer los elementos en factores, para expresarlos como una suma de cubos:

x⁶ = (x²)³
64 = 4³

Hecho esto, se puede entonces aplicar la fórmula para factorizar la suma de cubos:

a³ + b³ = (a + b) . (a² – ab + b²)

(x²)³ + 4³ = (x² + 4) . [ (x²)² – x² . 4 + 4²

Se resuelven las operaciones y las potencias planteadas:

(x² + 4) . [ (x²)² – x² . 4 + 4² = (x² + 4) . (x⁴ + 4x² + 16)

Se considera factorizada la suma de cubos.

Ejemplo 3

Factorizar el siguiente binomio:

x³ + 8 =

En este caso, también se deben descomponer los factores, a fin de lograrlos expresar como una suma de cubos. Por ende, se tienen los siguientes elementos:

x³ = x³
8 = 2³

Se expresan los elementos entonces como la suma de cubos:

x³ + 2³ =

Y se aplica la fórmula, a fin de factorizar esta expresión algebraica. En este sentido, se entiende entonces que la suma de cubos resulta igual al producto entre la suma de los términos por el cuadrado del primer término, menos el producto de los términos, más el cuadrado del segundo termino, o dicho de otra forma, al producto de la suma de los términos por el cuadrado perfecto de su diferencia:

a³ + b³ = (a + b) . (a² – ab + b²)

x³ + 2³ = (x + 2) . (x² – x . 2 + 2²)

Se deben resolver las multiplicaciones y potencias planteadas:

(x + 2) . (x² – x . 2 + 2²) = (x + 2) . (x² – 2x + 4)

Se considera entonces factorizado el binomio, por medio del producto notable de la suma de cubos. Finalmente, se expresa el resultado obtenido:

x³ + 2³ = (x + 2) . (x² – 2x + 4)

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