Definiciones fundamentales

En este sentido, lo mejor será comenzar entonces por la propia definición de Conjunto, a fin de poder tener clara la naturaleza del objeto sobre el cual se desarrolla esta operación. Así mismo, puede ser pertinente pasar revista sobre la definición de Conjunto Universal, esencia para entender el origen y la naturaleza del Conjunto complementario. A continuación, cada uno de estos conceptos:

Conjunto

En primer lugar, se puede decir que las Matemática han definido al Conjunto como una colección abstracta de elementos, entre los cuales se puede distinguir un rasgo en común, o dicho en otras palabras, considerarse parte de la misma naturaleza, de ahí que puedan ser considerados como un grupo o conjunto. Igualmente, esta disciplina ha señalado que los elementos cumplen con la misión de conformar el conjunto, así como de definirlo de forma única y exclusiva. Por otro lado, también existen directrices sobre la notación por la que deben guiarse este tipo de objetos, los cuales –por norma matemática- llevarán el nombre de una letra mayúscula, mientras que sus elementos serán siempre presentados en forma de listado, separados por comas y contenidos por signos de llaves { }.

Conjunto Universal

Así mismo, surge como necesario, previo al análisis de los ejemplo de Conjuntos complementarios, prestar atención a la definición de Conjunto Universal, el cual es visto por la Teoría de conjuntos, como aquella colección en donde se encuentran comprendidos, de forma plena, todos los objetos inherentes a un determinado contexto, el cual es escogido a conveniencia, según las necesidades del ejercicio que quiera realizarse. Como el Conjunto Universal contiene plenamente los elementos de un universo específico, recibe en ocasiones también el nombre de Conjunto referencial, o incluso Universo del Discurso. Con respecto a su notación, las distintas fuentes teóricas coinciden en indicar que este Conjunto es nombrado con la letra U, aun cuando algunas fuentes también señalan que puede ser usada la letra V.

Conjunto complementario

Finalmente, es necesario revisar la definición de Conjunto complementario, el cual es concebido por el Álgebra de Conjuntos, como la colección conformada por todos los elementos que no están en un conjunto. No obstante, también es importante señalarlo, esta identificación de elementos se hará teniendo como referencia al Conjunto Universal, por consiguiente, suponiendo que se tiene un conjunto U y un conjunto A, en donde existan ciertos elementos de este Conjunto universal, el Complemento del Conjuntos –como también se llama este tipo de objeto- será aquel donde estén todos los elementos que no estén en A. En cuanto al Conjunto complementario también se puede decir que, según el Álgebra de conjuntos, este es determinado a través de una operación de Diferencia entre el Conjunto Universal y el conjunto dado, por lo que la forma de determinar este tipo de colecciones puede expresarse matemáticamente de la siguiente manera:

A^∁ = U \\ A

Ejemplos de Conjuntos complementarios

Teniendo presentes estas definiciones, será entonces mucho más sencillo aproximarse a cada uno de los ejercicios que pueden ser identificados como Conjuntos complementarios. A continuación, algunos de ellos:

Ejemplo 1

Dado un conjunto A, conformado por nombres de frutas que comiencen por la letra “m”: A= {Mango, Melón, Mandarina, Mora} determinar su Conjunto complementario, teniendo en cuenta que el conjunto universal es el siguiente U= {Mora, Mango, Melocotón, Menbrillo, Maní, Merey, Mandarina, Maracuyá, Melón}

Para cumplir con la siguiente solicitud, se deberá comenzar por declarar los conjuntos conocidos, a fin de realizar con ellos la operación de diferencia que dará como resultado el Conjunto complementario:

A= {Mango, Melón, Mandarina, Mora}
U= {Mora, Mango, Melocotón, Menbrillo, Maní, Merey, Mandarina, Maracuyá, Melón}

A^∁= U\\A
A^∁= {Mora, Mango, Melocotón, Menbrillo, Maní, Merey, Mandarina, Maracuyá, Melón} \\ {Mango, Melón, Mandarina, Mora}

A^∁= {Melocotón, Menbrillo, Merey, Maracuyá, Melón}

Ejemplo 2

Dado el conjunto B, constituido por letras del alfabeto: B= {a, d, f, g, h, i} determinar su Conjunto complementario, tomando en cuenta que el Conjunto Universal estará comprendido por letras que vayan de la “a” a la letra “k”: U= {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k}

En este caso, igualmente se deberán declarar los conjuntos conocidos, para someterlos a una operación de Diferencia, tomando al resultado como el Conjunto complementario:

B= {a, d, f, g, h, i}
U= {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k}

B^∁= U\\B
B^∁= {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k} \\ {a, d, f, g, h, i}
B^∁= {b, c, d, e, j, k}

Ejemplo 3

Dado un conjunto C, en donde puedan contarse como elementos, nombres femeninos que empiecen por la letra “p”: C= {Patricia, Paola,  Penélope, Paloma} determinar su Conjunto complementario, teniendo como Conjunto Universal el siguiente: U= {Palmira, Patricia, Paola, Penélope, Pamela, Paola, Paula, Priscila, Pilar, Pastora}

C= {Patricia, Paola,  Penélope, Paloma}
U= {Palmira, Patricia, Paola, Penélope, Pamela, Paula, Priscila, Pilar, Pastora}

C^∁= U\\C
C^∁= {Palmira, Patricia, Paola, Penélope, Pamela, Paula, Priscila, Pilar, Pastora, Paloma} \\ {Patricia, Paola,  Penélope, Paloma}

C^∁= {Palmira, Pamela, Paula, Priscila, Pilar, Pastora}

Imagen: pixabay.com