Definición de Conjunto Potencia

En este sentido, se puede comenzar por decir entonces que el Conjunto Potencia es definido por el Álgebra Elemental como una colección en donde se pueden contar como elementos todos los subconjuntos contenidos en el conjunto dado. Es decir, que al determinar el Conjunto Potencia de una colección específica, se obtendrá como resultado un conjunto conformado por todos y cada uno de los subconjuntos que pueden identificarse en este conjunto, incluido el Conjunto Vacío. Por lo general, esta disciplina matemática opta por señalar al Conjunto Potencia con una P mayúscula, la cual va acompañada del nombre del conjunto entre paréntesis: P(A).

Ejemplos de Conjunto Potencia

No obstante, quizás la forma más eficiente de explicar este tipo de Conjunto sea a través de la exposición de algunos ejemplos, en donde se pueda ver el cómo se va conformando en Conjunto Potencia, en base a los distintos subconjuntos del conjunto dado.  A continuación, algunos de ellos:

Ejemplo 1

Dado un conjunto A= {1,2} determinar el Conjunto Potencia

Para cumplir con el postulado de este ejercicio, será necesario entonces comenzar por establecer el Conjunto Potencia, anotando en él todos los subconjuntos que puedan verse en A:

A= {1,2}

P(A) = {∅, {1}, {2}, {1,2}}

Al revisar nuevamente el conjunto dado, se puede comprobar que no se pueden hallar en él más subconjuntos. Sin embargo, si se quisiera probar cuántos elementos debería tener realmente el Conjunto Potencia, bastará entonces con calcular el cardinal del Conjunto Potencia, para lo cual se resolverá una potencia de base 2, cuyo exponente será el número de elementos o cardinal de A:

│P(A)│= 2²
│P(A)│= 4

Al hacerlo, se puede ver entonces cómo esta operación da un total de 4, así también como el Conjunto Potencia obtenido también cuenta con cuatro elementos. Por ende, se puede considerar que el Conjunto Potencia de A es correcto.

Ejemplo 2

Dado el conjunto B= {a, b, c} determinar el Conjunto Potencia

En este caso, se puede hacer uso del método binario, el cual consiste en tomar una sucesión de ceros, equivalente a cada elemento de B, para después ir agregando unos, en distintas posiciones, cada una de las cuales indicará cuál es el subconjunto hallado, tal como se muestra a continuación:

Se procede entonces a ordenar cada uno de los subconjuntos obtenidos, de acuerdo a la lógica que en que pueden aparecer, según el orden del Conjunto dado:

P(B)= { ∅, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a, b, c}}

Ejemplo 3

Dado un conjunto C= {Naranja, Pera, Manzana, Níspero} determinar el Conjunto Potencia

En este caso, aun cuando un poco más complejo, debido al número mayor de elementos, se deberá proceder de igual forma, construyendo un conjunto, en donde puedan verse todos los subconjuntos existentes en C, tal como se puede ver seguidamente:

P(C)= {∅, {Naranja}, {Pera}, {Manzana}, {Níspero}, {Naranja, Pera}, {Naranja, Manzana}, {Naranja, Níspero}, {Pera, Manzana}, {Pera, Níspero}, {Manzana, Níspero}, {Naranja, Pera, Manzana}, {Naranja, Pera, Níspero}, {Pera, Manzana, Níspero}, {Naranja, Manzana, Níspero}, {Naranja, Pera, Manzana, Níspero}}

Obtenido este conjunto, se hace necesario revisar si efectivamente el Conjunto Potencia que se ha formado cuenta con el total de subconjuntos que pueden encontrarse en C:

│P(C)│=  2^│A│
│P(C)│=  2⁴
│P(C)│=   16

De esta manera, se puede comprobar cómo la operación realizada da como resultado 16, número que coincide con el número de elementos que se han anotado en el Conjunto Potencia. En consecuencia, este se puede considerar completo.

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