Conceptos fundamentales

Por consiguiente, quizás sea pertinente comenzar por una breve revisión a la definición de Conjunto, pues esta aproximación ayudará a tener presente la naturaleza del objeto en base al cual se realiza la Diferencia Simétrica. Igualmente, surge como necesario pasar revista sobre el concepto de esta operación, pues es en ella en donde tiene lugar la Propiedad del Elemento neutro, cuyo concepto también será importante analizas. A continuación, cada una de las definiciones:

Conjunto

En este orden de ideas, se puede decir entonces que la disciplina de la Matemática se ha dado a la tarea de explicar el Conjunto como una colección abstracta de elementos, entre los cuales puede reconocerse un rasgo en común, de ahí que sean tenidos como pertenecientes a la misma naturaleza. Por otro lado, las Matemáticas también han indicado que los elementos cumplen con la función de definir y constituir, de forma única y exclusiva, al conjunto. En cuanto a su notación, esta disciplina también ha señalado que el Conjunto debe ser nombrado según alguna letra mayúscula, mientras que sus elementos deben ir anotados en forma de enumeración, separados por comas y contenidos por dos signos de llaves.

Diferencia simétrica

Con respecto a la Diferencia Simétrica, el Álgebra de conjuntos ha señalado que se esta se puede concebir como una de las operaciones básicas entre conjuntos, en donde dos o más colecciones forman una en donde se pueden contar como elementos aquellos que aparecen tan solo en uno de los conjuntos que participan de la operación. En otras palabras, la Diferencia Simétrica puede entenderse como una operación en la cual un conjunto A y un conjunto B crean un conjunto A∆B en donde sólo pueden entrar como elementos aquellos que aparecen en A pero no en B, así como todos los que forman parte de B, pero no de A.

Propiedad del Elemento neutro (Diferencia simétrica)

Finalmente, en cuanto a la Propiedad del Elemento neutro en la Diferencia Simétrica, también definida por el Álgebra de Conjuntos, se puede decir que esta es considerada como una propiedad matemática, inherente a esta operación, la cual reza que siempre que un conjunto, independientemente del número u orden de sus elementos, establezca una operación de Diferencia Simétrica con el Elemento neutro, constituido por el Conjunto vacío, el resultado será el propio conjunto, hecho que se explica simplemente porque a la hora de comparar elementos, a fin de determinar cuáles deben formar el nuevo conjunto, se encontrarán que solo se pueden usar los del conjunto con elementos, pues el Conjunto vacío no contará con ninguno.

Ejemplos Propiedad del Elemento neutro (Diferencia Simétrica)

Teniendo en cuenta estas definiciones, será mucho más sencillo aproximarse a cada uno de los casos concretos que pueden servir de ejemplo al cómo se cumple la Propiedad del Elemento neutro en la operación de Diferencia Simétrica. A continuación, algunos ejemplos de esta propiedad:

Ejemplo 1

Dado el conjunto A, conformado por instrumentos musicales: A= {Piano, Guitarra, Batería, Bajo, Timbales, Saxofón, Xilófono, Pandereta, Triángulo} comprobar cómo se cumple la Propiedad del Elemento Neutro en la Diferencia Simétrica.

Para cumplir con la solicitud planteada en este ejercicio, se deberá entonces plantear una operación de Diferencia Simétrica entre el conjunto dado y el Elemento neutro, constituido por el Conjunto vacío:

A= {Piano, Guitarra, Batería, Bajo, Timbales, Saxofón, Xilófono, Pandereta, Triángulo}

A ∆ ∅=

A ∆ ∅= {Piano, Guitarra, Batería, Bajo, Timbales, Saxofón, Xilófono, Pandereta, Triángulo} ∆ ∅

A ∆ ∅= {Piano, Guitarra, Batería, Bajo, Timbales, Saxofón, Xilófono, Pandereta, Triángulo}

Al revisar entonces los elementos de los conjuntos que participan de la operación, a fin de decidir cuáles conformarán el tercer conjunto, cónsono con lo que el Álgebra de Conjuntos señala respecto a la Diferencia Simétrica, se tendrá que sólo se cuentan con los elementos del conjunto dado, pues en el Conjunto vacío son inexistentes. De ahí que se tome también como comprobada la Propiedad del Elemento neutro en la Diferencia Simétrica:

A ∆ ∅= A
{Piano, Guitarra, Batería, Bajo, Timbales, Saxofón, Xilófono, Pandereta, Triángulo} ∆ ∅ = {Piano, Guitarra, Batería, Bajo, Timbales, Saxofón, Xilófono, Pandereta, Triángulo}

Ejemplo 2

Dado un conjunto B, constituido por nombres de flores: B= {Alhelí, Ave de Paraíso, Rosa, Gardenia, Margarita, Jazmín, Azucena} comprobar si se cumple o no la Propiedad del Elemento Neutro en la Diferencia Simétrica:

B= {Alhelí, Ave de Paraíso, Rosa, Gardenia, Margarita, Jazmín, Azucena}

B ∆ ∅=
B ∆ ∅= {Alhelí, Ave de Paraíso, Rosa, Gardenia, Margarita, Jazmín, Azucena} ∆ ∅
B ∆ ∅= {Alhelí, Ave de Paraíso, Rosa, Gardenia, Margarita, Jazmín, Azucena}

Por lo tanto: B ∆ ∅= B
{Alhelí, Ave de Paraíso, Rosa, Gardenia, Margarita, Jazmín, Azucena} ∆ ∅ = {Alhelí, Ave de Paraíso, Rosa, Gardenia, Margarita, Jazmín, Azucena}

Ejemplo 3

Dado un conjunto C, en donde se puedan contar como elementos nombres femeninos que comiencen por la letra “e”: C= {Evelyn, Emma, Emilia, Estela, Esther, Eva, Estefanía} comprobar la Propiedad del Elemento neutro en la Diferencia Simétrica:

C= {Evelyn, Emma, Emilia, Estela, Esther, Eva, Estefanía}

C ∆ ∅=
C ∆ ∅= {Evelyn, Emma, Emilia, Estela, Esther, Eva, Estefanía} ∆ ∅
C ∆ ∅= {Evelyn, Emma, Emilia, Estela, Esther, Eva, Estefanía}

De esta manera, se considera comprobada esta propiedad matemática:

C ∆ ∅= C
{Evelyn, Emma, Emilia, Estela, Esther, Eva, Estefanía} ∆ ∅ = {Evelyn, Emma, Emilia, Estela, Esther, Eva, Estefanía}

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