Ejemplos sobre la propiedad de la Unión del conjunto y su complemento

Propiedad sobre la Unión de A y A^∁

En este sentido, se puede comenzar por decir entonces que esta propiedad matemática, la cual no cuenta con un nombre específico, pero que puede ser llamada Ley sobre la Unión de un Conjunto y su complementario, reza literalmente que toda vez que un Conjunto determinado establezca una operación de Unión con su Conjunto complementario, el resultado será igual al Conjunto Universal. Esta propiedad es fácilmente explicable si se toma en cuenta que el Complementario de un Conjunto estará conformado por todos los elementos que no se encuentran en un conjunto determinado, teniendo como referencia al Conjunto Universal, al cual a su vez contiene la totalidad de elementos de un universo definido. Por ende, al sumar los elementos que existen en A y en su complementario A^∁ se obtendrá un conjunto en donde puedan contarse la totalidad de elementos de un universo, es decir el Conjunto Universal: A ∪ A^∁ = U.

Ejemplos de la Propiedad sobre la Unión de A y  A^∁

Sin embargo, quizás la mejor forma de aproximarse a las relaciones involucradas en esta Ley matemática sea a través del análisis de algunos casos específicos, en donde pueda verse de forma explícita las razones en las cuales se basa esta propiedad. A continuación, algunos de ellos:

Ejemplo 1

Dado un conjunto A, conformado por el nombre de frutas que comienzan por “p”: A= {Pistacho, Papaya, Papayuela, Pera} y un Conjunto Universal: U= {Piña, Pistacho, Papaya, Pomarrosa, Papayuela, Pera, Pistacho, Pomelo, Pitaya} determinar cómo se cumple la Propiedad sobre la Unión de su Conjunto y su Complementario.

Para cumplir con la solicitud de este postulado, será necesario en primer lugar determinar cuál es el Conjunto complementario de A, puesto que con él se establecerá posteriormente la operación de Unión entre estos dos conjuntos. Para esto, se establecerá una operación de Diferencia entre el Conjunto Universal y el Conjunto A:

A= {Pistacho, Papaya, Papayuela, Pera}
U= {Piña, Pistacho, Papaya, Pomarrosa, Papayuela, Pera, Pistacho, Pomelo, Pitaya}

A^∁ = U\A
A^∁ = {Piña, Pistacho, Papaya, Pomarrosa, Papayuela, Pera, Pistacho, Pomelo, Pitaya} \  A= {Pistacho, Papaya, Papayuela, Pera}

A^∁ = {Piña, Pomarrosa, Pomelo, Pitaya}

Obtenido el Conjunto Complementario, se deberá entonces establecer la operación de Unión del Conjunto dado con el Conjunto complementario, a fin de comprobar si realmente se cumple esta propiedad:

A ∪ A^∁= {Pistacho, Papaya, Papayuela, Pera} ∪ {Piña, Pomarrosa, Pomelo, Pitaya}

A ∪ A^∁= {Pistacho, Papaya, Papayuela, Pera, Piña, Pomarrosa, Pomelo, Pitaya}

Posteriormente, se deberá comparar el resultado de esta operación con el Conjunto Universal, a fin de comprobar si realmente se cumple o no:

A ∪ A^∁= {Pistacho, Papaya, Papayuela, Pera, Piña, Pomarrosa, Pomelo, Pitaya}
U= {Piña, Pistacho, Papaya, Pomarrosa, Papayuela, Pera, Pistacho, Pomelo, Pitaya}

Al hacerlo, se puede ver cómo ambos conjuntos cuentan con iguales elementos, por lo que pueden ser considerados iguales, por ende:

A ∪ A^∁= U

Ejemplo 2

Dado un conjunto B, constituido por nombres femeninos que comiencen por la letra “m”: B= {Mariana, Martha, Mery, Magaly} determinar si la ley matemática sobre la unión de un Conjunto y su Complementario es cierto, tomando en cuenta el Conjunto Universal: U= {María, Mariana, Martha, Milady, Mery, Magaly, Maigualida, Maritza}

B= {Mariana, Martha, Mery, Magaly}
U= {María, Mariana, Martha, Milady, Mery, Magaly, Maigualida, Maritza}

B^∁ = U\B
B^∁ = {María, Mariana, Martha, Milady, Mery, Magaly, Maigualida, Maritza} \ {Mariana, Martha, Mery, Magaly}
B^∁ = {María, Maigualida, Maritza}

B ∪ B^∁=
B ∪ B^∁= {Mariana, Martha, Mery, Magaly} ∪ {María, Maigualida, Maritza}
B ∪ B^∁= {Mariana, Martha, Mery, Magaly, María, Maigualida, Maritza}

B ∪ B^∁= {Mariana, Martha, Mery, Magaly, María, Maigualida, Maritza}
U= {María, Mariana, Martha, Milady, Mery, Magaly, Maigualida, Maritza}

B ∪ B^∁= U

Ejemplo 3

Dado un conjunto C, en donde puedan contarse como elementos nombres de países que comiencen por la letra “a”: C= {Armenia, Alemania, Australia, Albania} y un Conjunto complementario conformado por los siguientes elementos:  C^∁= {Afganistán, Armenia, Alemania, Australia, Andorra, Angola, Argentina, Albania, Austria} comprobar la Propiedad Matemática sobre la Unión del Conjunto y su complementario, teniendo en cuenta que el Conjunto Universal es: U= {Armenia, Alemania, Australia, Albania, Afganistán, Armenia, Alemania, Australia, Andorra, Angola, Argentina, Albania, Austria}.

Al momento de cumplir con la solicitud de este postulado, se encontrará la necesidad de establecer la Unión entre el conjunto C y el complementario, a fin de poder determinar el Conjunto Universal. Al hacerlo se habrá comprobado directamente la Ley matemática que indica que la Unión entre el Conjunto y su complementario es equivalente al Conjunto Universal. En este caso, se puede ver entonces:

C= {Armenia, Alemania, Australia, Albania}
C^∁= {Afganistán, Armenia, Alemania, Australia, Andorra, Angola, Argentina, Albania, Austria}

C ∪ C^∁= {Armenia, Alemania, Australia, Albania} ∪ {Afganistán, Armenia, Alemania, Australia, Andorra, Angola, Argentina, Albania, Austria}
C ∪ C^∁= {Armenia, Alemania, Australia, Albania, Afganistán, Armenia, Alemania, Australia, Andorra, Angola, Argentina, Albania, Austria}

C ∪ C^∁= {Armenia, Alemania, Australia, Albania, Afganistán, Armenia, Alemania, Australia, Andorra, Angola, Argentina, Albania, Austria}
U= {Armenia, Alemania, Australia, Albania, Afganistán, Armenia, Alemania, Australia, Andorra, Angola, Argentina, Albania, Austria}.

C ∪ C^∁= U

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