Definiciones fundamentales

En este sentido, puede que también sea necesario delimitar esta revisión teórica a dos conceptos específicos: el primero de ellos, la definición misma de Números enteros, a fin de tener conciencia de la naturaleza de estos elementos numéricos. Por otro lado, también será necesario revisar cómo conciben las Matemáticas a la operación de Potenciación, por ser este procedimiento el directamente involucrado en los ejercicios, que se expondrán posteriormente. A continuación, cada una de estas cuestiones:

Números enteros

De esta manera, se comenzará por decir que los Números enteros serán aquellos elementos numéricos, por medio de los cuales se le logra dar expresión escrita a una cantidad exacta específica, o así también a la ausencia o falta de ellas. Igualmente, la disciplina matemática ha indicado que los Números enteros podrán ser tomados como los elementos constituyentes del conjunto de los números enteros, el cual es denominado Conjunto numérico Z, colección dentro de la que se pueden contar tres distintas clases de números, explicados a su vez de la siguiente manera:

• Números enteros positivos: en primer lugar, dentro de los Números enteros, se podrá contar los enteros positivos, los cuales serán entendidos igualmente como los elementos que conforman el conjunto de los Números naturales. En consecuencia, se entiende también que estos números pueden ser empleados para señalar de forma escrita cantidades exactas, contar los elementos de un conjunto, o incluso asignarles a cada uno de ellos un número o posición, que permita ordenarlos. Estos números son ubicados en la Recta numérica a la derecha del cero, posición desde donde se extienden al infinito. Cuentan también con un signo positivo, el cual en ocasiones se da por sobre entendido, por lo que no se anota al lado del número.
• Números enteros negativos: por otro lado, dentro de este conjunto numérico se encontrarán también los Números enteros negativos, señalados por las Matemáticas como los inversos de los enteros positivos. En este orden de ideas, los Números enteros negativos se ubicarán en la Recta numérica, a la izquierda del cero, posición desde donde se extenderán al infinito, en dirección contraria a la que lo hacen los números enteros positivos. Cuentan con un signo negativo, el cual debe ser anotado en todo momento, para así evitar confusiones con su inverso. Los números enteros negativos son empleados para señalar la ausencia de cantidades exactas específicas.
• Cero: finalmente, dentro del conjunto numérico Z, se encontrará el cero, el cual se ubicará en la Recta numérica, en la mitad, a fin de servir como límite, y a la vez como punto de partida a los números enteros positivos y negativos. No obstante, el cero no podrá ser clasificado en ninguno de estos grupos, así como no contará con ninguno de estos signos, puesto que no es considerado un número como tal, sino que es visto como un símbolo o elemento, por medio del cual se logra dar expresión escrita a la ausencia plena o total de cantidad.

Potenciación de números enteros

En segunda instancia, también resultará de provecho tener en cuenta la definición de Potenciación de números enteros, la cual puede ser explicada como toda operación, que tenga como propósito determinar cuál es el producto que se obtiene toda vez que se multiplique por sí mismo, un número entero, que cumpla las veces de base, tantas veces como señale un segundo elemento, que funja como exponente, y que en este caso específico se encuentre constituido por un número natural. Algunos autores se refieren a este tipo de operación como una multiplicación abreviada.

Así mismo, las Matemáticas han señalado que deberán tenerse en cuenta los elementos que constituyen la Potenciación, los cuales son tres, y se encuentran ubicados y definidos de la siguiente manera:

• Base: la base será entendida como el número que se multiplicarán por sí mismo, tantas veces como le señale el número al que se eleve.
• Exponente: será el número que le indique a la base cuántas veces debe multiplicarse por sí mismo, a fin de obtener el resultado de la operación.
• Potencia: por último, la Potencia será entendida como el resultado de la operación, es decir, el producto de multiplicar por sí misma la base, tantas veces como señale el exponente.

Por otro lado, será importante igualmente señalar que en el caso de los Números enteros, cuando estos participan de una operación de potenciación, en el procedimiento no deberá tomarse en cuenta solo el valor de la base y del exponente, sino sus respectivos signos, pues estos indicarán en principio si la operación puede realizarse, así también como la forma en la que deberá hacerse, de acuerdo a las diferentes leyes matemáticas que existen al respecto. No obstante, en este caso, al tratarse de potencias de base entera y exponen natural, solo se considera el signo de la base, pues el exponente siempre será positivo.

Ejercicios de Potenciación de números enteros y exponentes naturales

Teniendo en cuenta cada una de estas definiciones, quizás ciertamente sea mucho más sencillo aproximarse a cada uno de los ejercicios que se pueden presentar en relación a las potencias de números enteros. A continuación, algunos de ellos:

Ejercicio 1

Subrayar la base en cada uno de las siguientes potencias de números enteros y exponentes naturales:

3⁴

-5²

43³

10²

-9³

Quizás uno de los primeros conocimientos que deben fijarse en relación a la potenciación de números enteros sea la naturaleza, ubicación y definición de cada uno de sus elementos, pues de esto dependerá la correcta solución de cada operación. En este caso, por ejemplo, se deberá subrayar cuáles elementos constituyen la base, en consecuencia se subrayarán los números grandes, siendo conscientes que son estos elementos los que se elevarán o multiplicarán por sí mismos, tantas veces como señale el exponente:

 3 ⁴

-5 ²

43 ³

10²

-9 ³

 

Ejercicio 2

Subrayar los exponentes en las siguientes potencias

2²

-5³

-8⁴

9³

Igualmente, toda vez que se haga frente a una potencia se deberá tener claro cuál es el exponente al fin de tener claro cuántas veces deberá multiplicarse por sí misma la base. De esta forma, se subrayarán entonces los siguientes números:

2²

-5³

-8⁴

9³

Ejercicio 3

Expresar en forma de multiplicación las siguientes potencias:

4²=

7⁴ =

9⁶ =

8³ =

10⁸ =

De acuerdo al concepto que dan las Matemáticas sobre las potencias de números enteros, esta operación se trata de una multiplicación abreviada, por lo que entonces la forma de representar como multiplicación una potencia será la de multiplicar la base por sí misma, tantas veces como haya señalado el exponente:

4²= 4 . 4

7⁴ = 7 . 7 . 7. 7

9⁶ = 9 . 9 . 9 . 9 . 9 . 9

8³ = 8 . 8 . 8

10⁸ = 10 . 10 . 10 . 10 . 10 . 10 . 10 . 10

Ejercicio 4

Señalar en forma de potencias las siguientes multiplicaciones:

5 . 5. 5=

9 . 9 . 9 . 9 . 9=

3 . 3=

2 . 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2=

6 . 6. 6. 6=

Así también, por ser la Potencia una forma abreviada de multiplicación, toda vez que un número entero se multiplique por sí mismo dos o más veces, esta operación podrá ser anotada en forma de potencia, colocando como base el número que se multiplica a sí mismo, y como exponente el número de veces que se ha multiplicado o que debe multiplicarse:

5 . 5. 5= 5³

9 . 9 . 9 . 9 . 9= 9⁵

3 . 3= 3²

2 . 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2= 2⁹

6 . 6. 6. 6= 6⁴

Ejercicio 5

Resolver la siguiente operación: 2⁴=

En este caso, se trata de una base conformada por un número entero positivo y un exponente natural. Por ende, al momento de resolverla simplemente se deberá multiplicar el número dos, por sí mismo, un total de cuatro veces:

2⁴= 2 . 2 . 2 . 2 = 16

Ejercicio 6

Resolver la siguiente operación: -3⁴=

Por el contrario, en este caso el número que sirve de base será un número negativo, el cual se encontrará elevado a un exponente par. Por ende, se resolverá la operación de potencia, y de acuerdo a la Ley matemática que señala que toda base negativa elevada a exponente par da como resultado una potencia positiva, se le colocará al número entero esta potencia:

-3⁴ = 81

Ejercicio 7

Resolver la siguiente operación: 2⁵ . 2² =

En este caso, se trata entonces de la multiplicación de potencias iguales, constituidas por números enteros. La forma correcta de resolver este ejercicio, según dictan las distintas leyes matemáticas, será tomar una sola base, y proceder a sumar el valor de sus exponentes naturales. Luego, se resolverá la operación conseguida:

2⁵ . 2² = 2⁵⁺² = 2⁷

2⁷ = 128

Ejercicio 8

Resolver la siguiente operación:  -3⁴ : -3² =

Así mismo, se tendrá que resolver también esta división de potencias de base entera e iguales, elevadas a exponentes diferentes. Para ello se aplicará lo dictado por las leyes matemática que señalan que siempre que se quiera resolver una operación de este tipo, se deberá entonces tomar un solo exponente, y proceder a restar sus respectivos exponentes. En último lugar, se resuelve la operación que ha sido planteada:

-3⁴ : -3² =  – 3^4-2 = -3⁶

Al hacerlo, se obtiene entonces una potencia constituida por una base conformada por un número entero negativo y un exponente par. Cónsono con lo que dictan las leyes matemáticas al respecto se realizará la operación planteada, y al resultado se le asignará un signo positivo:

 -3⁶= 729

Ejercicio 9

Resolver la siguiente operación: 2³ . 3³ . 5³=

También puede ocurrir lo inverso, es decir, que se multipliquen tres distintas potencias, en donde lo que coincida sea el exponente. En este tipo de casos se podrá entonces tomar un solo exponente para toda la operación, resolver primero la multiplicación y luego la potenciación obtenida, tal como se muestra a continuación:

2³ . 3³ . 5³=  (2 . 3. 5)³ = 30³

30³ = 27000

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