Definición de Matemáticas

De esta forma, las diferentes fuentes teóricas coinciden en señalar a las Matemáticas (Ver más en ¿Qué son las Matemáticas?) como el área del conocimiento humano, cuyo propósito principal es el estudio de las entidades abstractas, como por ejemplo los números o las figuras geométricas, así como cada una de las propiedades o relaciones inherentes a ellas. Así mismo, las Matemáticas son entendidas, más que como una Ciencia, como un conjunto de lenguajes formales, con los cuales se logra expresar de forma no ambigua y en el contexto adecuado, los distintos problemas y leyes descubiertas por las Ciencias. De ahí que la principal función de la Matemáticas sea precisamente volver verificable las diferentes leyes y postulados concebidos por la Ciencia, logrando con esto no sólo comprobar en la práctica las teorías sobre la naturaleza, sino conseguir explicar su comportamiento, por lo que las Matemáticas, además de lenguaje formal y herramienta práctica, es esencial para la comprensión, cuantificación y medición de la realidad.

Historia de las Matemáticas

Por otro lado, se puede definir a la Historia de las Matemáticas como el área que se encarga de estudiar la evolución de esta disciplina, y cuyo propósito principal es precisar cómo fue que esta herramienta práctica surgió dentro de la sociedad humana, así como los cambios y descubrimientos más importantes que se han producido en el seno de cada una de las civilizaciones que han dado su aporte. En este sentido, en aras de hacer una breve revisión a lo que ha sido la evolución histórica de las Matemáticas, casi siempre lo recomendable es revisar cada una de las etapas o edades en las cuales se fueron dando los distintos descubrimientos y avances, tal como se plantea a continuación:

Origen de las Matemáticas

De acuerdo a las distintas teorías científicas, apoyadas en los descubrimientos paleontológicos que se han logrado (Ver más en Origen de las Matemáticas), las matemáticas nacieron en el seno de las sociedades primitivas, incluso antes que la propia escritura. Al respecto, la mayoría de las corrientes coinciden en señalar que el proceso involucrado en el surgimiento de las matemáticas debió estar relacionado con la necesidad del hombre primitivo de cuantificar y administrar sus recursos, conocer las dimensiones y magnitudes de los objetos, o lograr llevar las cuentas de los ciclos naturales, tanto del mundo que lo rodeaba con los del propio organismo.

No obstante, los científicos colocan especial interés en señalar que la evolución debió darse escaladamente, pues en principio, es decir, durante los primeros pasos de la sociedad humana debió existir primero una noción de cantidad, que le permitía al hombre el saber cuánto de sus recursos poseía, a fin de registrar si poseía mucho o poco de algún recurso en específico. Así mismo, a través de la construcción de sus herramientas y estructuras comenzó a desarrollar noción de las medidas y volúmenes, mientras por otro lado trataba de determinar cómo transcurría el tiempo y de qué forma podía cuantificarse. Habían nacido las Matemáticas, y la raíz de sus ramas principales (Ver más en Ramas de las Matemáticas) pues si se piensa, la categoría cardinal de muchos o pocos es el primer paso hacia la concepción de número; la noción de medidas y dimensiones lo es de la geometría; y el interés por cuantificar el tiempo apunta hacia el estudio del cambio, es decir del cálculo.

Sin embargo, faltaba todavía que apareciera la noción de número. En cuanto a este gran paso, los científicos sugieren que esto debió ocurrir progresivamente en la medida en que las sociedades humanas fueron complejizándose. De hecho, existen numerosas corrientes que pretenden ver en el descubrimiento de la Agricultura un impulso crucial para el proceso que condujo al hombre a concebir al número, pues este hecho provocó cambios decisivos en la forma como se desarrollaba la vida del humano.

En primer lugar, el hombre abandonó las cavernas, a fin de permanecer cerca de sus cultivos y fuentes de agua, lo que implicó la necesidad de construir sus propias casas, lo que de seguro potenció su noción de medidas, formas espaciales, figuras geométricas. Por otro lado, debió igualmente interesarse por entender los ciclos de las estaciones, las fases de la luna, lo que lo llevó a generar formas de contabilizar el tiempo empezando a desarrollar su noción de cálculo. No obstante, según indican algunas corrientes, lo primordial fue aprender a administrar la cantidad de recursos que poseía, por lo que obligado ante estas nuevas exigencias comenzó a concebir la forma de pensar y representar entidades abstracta que pudieran englobar la noción de cantidad: había nacido el número. Posteriormente, el proceso de evolución de la sociedad, requirió cada vez de operaciones matemáticas mucho más elaboradas, que le permitiera al hombre establecer las formas adecuadas de ejercer el comercio con otras poblaciones de hombres, dando paso también a un sistema de pesos, medidas, administración y demás habilidades referentes a las Matemáticas aplicadas.

Civilizaciones antiguas

Sin embargo, todo lo referente al proceso de surgimiento de las Matemáticas ocurrido durante la Prehistoria a lo sumo puede suponerse, aún con los distintos hallazgos antropológicos, puesto que estas sociedades al no poseer Escritura no pudieron dejar registro escrito de sus conocimientos matemáticos, salvo herramientas, marcas en huesos y piedras o demás elementos que llevan a los especialistas a identificar a estos hallazgos como atisbo de números, sistemas numéricos o sistemas de medidas.

De esta forma, en cuanto a los conocimientos matemáticos de una civilización, sólo se puede hablar con propiedad de todos aquellos pueblos post escritura. En ese sentido, la Historia de las Matemáticas registra como los pueblos más antiguos que desarrollaron y alcanzaron grandes avances en materia matemática a los babilonios y antiguos egipcios, entre otras sociedades cuyos aportes pueden ser descritos brevemente de la siguiente manera:

Babilonia

Cuando se habla de la civilización babilónica se abarca a los pueblos que se desarrollaron en el territorio mesopotámico desde la aparición del pueblo sumerio (aproximadamente unos 3300 a.C.) hasta la caída de Babilonia (ocurrida en el año 539 a.C.). Así mismo, las fuentes históricas basan su conocimiento sobre los avances matemáticos de esta civilización en un hallazgo hecho en el año 1850, cuando un grupo de investigadores encontraron un grupo de 400 tablillas de arcilla, que se creen datan del año 1800 a.C., donde en escritura cuneiforme, los antiguos babilónicos habían anotado parte de sus conocimientos matemáticos, los cuales abarcaban un sistema de numeración complejo, así como conocimientos de algebra, ecuaciones cuadráticas y cúbicas, fracciones e incluso los primeros esbozos de los que sería tiempo después el Teorema de Pitágoras, alcanzado finalmente por la civilización griega.

Egipcios

En cuanto a los antiguos egipcios, los investigadores han encontrado gran cantidad de libros y escritos, que datan del año 1800 a.C., y que dejan evidencia de cómo en ese momento de la Historia esta civilización ya poseía un sistema numérico basado en el sistema decimal, el cual se caracterizaba además por tener distintos símbolos para cada una de las potencias sucesivas. Igualmente, los investigadores han determinado que para ese momento, el pueblo egipcio era capaz ya de realizar sumas, de forma muy parecida a como se hace en realidad, aplicando la adición a cada elemento por separados: suma de todas las unidades, suma de todas las decenas, de las centenas, etc. Así mismo, los egipcios concibieron un sistema de multiplicación y división, demostrando con esto un gran manejo de la Aritmética, área en donde incluso llegaron también a desarrollar fracciones. Por otro lado, se tiene conocimiento de que lograron un gran desarrollo en el área geométrica, por ejemplo, con respecto al círculo, la civilización egipcia desarrolló su propio método para calcular la razón entre radio y diámetro, logrando aproximarse bastante al número π. En cuanto a las otras figuras geométricas, los egipcios concibieron operaciones y fórmulas que les permitían calcular el área de las principales figuras geométricas, como por ejemplo los triángulos, trapecios, cilindros y pirámides, entre otros.

Antigua Grecia

Conocidas también como matemáticas helénicas, la disciplina practicada por esta civilización se constituye en gran heredera de los avances hechos por Babilonia y el antiguo Egipto, sólo que desde un punto de vista mucho más moderno y sofisticado, pues así como estas civilizaciones lograron concebir métodos inductivos para el cálculo de diferentes cantidades, los griegos implementaron por primera vez en el mundo el método del razonamiento deductivo, inventando así las matemáticas abstractas, basadas en axiomas, teoremas y definiciones, las cuales obtenían a través de la aplicación de la lógica deductiva. Por regla general, los investigadores optan por considerar como punto de inicio de las matemáticas helénicas a Tales de Mileto (624 a.C. – 546 a.C.) quien desarrolló importantes avances en el área geométrica, que le permitieron calcular distancias y las dimensiones de varios objetos como las pirámides, de las que pudo medir exactamente su altura. Así mismo, Pitágoras (582 a.C. – 507 a.C.)  empleó los conocimientos geométricos para lograr la resolución y demostración del teorema, que la historia terminó por ser bautizado Teorema de Pitágoras en su honor. Igualmente, los miembros de la escuela de este antiguo matemático, los pitagóricos lograron incluso probar que los números irracionales existían, hecho bastante avanzado para su momento.

Otros grandes matemáticos de la civilización helénica fueron: Eudoxio (por sus méritos en cuanto al método exhaustivo); Aristóteles (padre de la Lógica); Euclides, precursor de la metodología matemática y autor de importantes textos como Elementos (publicación que según los entendidos es contiene casi todo el conocimiento matemático con el que el mundo helénico contaba para el siglo IV a.C.); Eratóstenes, quien con su publicación La criba provocó el primer paso para que se pudieran descubrir los números primos; Arquímedes de Siracusa, famoso por sus estudios geométricos, en especial con las parábolas y el estudio del espiral; Demócrito de Abdera, a quien se le atribuye el descubrimiento de la fórmula exacta para calcular el volumen de las pirámides; Apolonio, quien se destaca por su gran estudio sobre las cónicas (parábola, hipérbola y elipse) siendo además quien las bautizó con los nombres que mantienen hasta la actualidad; Diofante, padre de las ecuaciones diofánticas. Así mismo, la Grecia del siglo II a.C. también fue la cuna en donde nació la Trigonometría, las cuales tienen como padre a Hiparco, quien aproximadamente en el 150 a.C. compiló la primera versión de tablas de cuerdas de un círculo, las cuales además se asemejaban mucho a las tablas de seno y coseno actuales.

China

Por su parte, un poco más hacia el este de Asia, los chinos también desarrollaron la disciplina matemática, la cual sin embargo no cuenta con textos tan palpables y confiables como las civilizaciones occidentales. Entre ellos el que se considera de mayor importancia, al tiempo que uno de los primeros es el Chou Pei, que se cree fue escrito hacia el año 1200 a.C., aun cuando no se puede tener seguridad al respecto. Por otro lado, los investigadores también llaman la atención sobre un texto de nombre La matemática de los nueve libros, la cual es un compendio de 264 problemas concretos, repartidos entre varios pergaminos, en donde se contiene información matemática con un gran carácter práctico, por lo que se puede considerar entonces un texto de matemáticas aplicadas, pues los problemas vienen a abordar temas cotidianos como agricultura, economía, ingeniería, entre otros. Los chinos desarrollaron un sistema numérico jeroglífico, y entre muchos de sus aportes, quizás el más importante sea sobre las ecuaciones lineales (muy parecido al actual método Gauss) y la perfección del sistema que lograron desarrollar al respecto. Así mismo, se les atribuye haber desarrollado su propio ábaco.

Edad Media

Aunque esta época es considerada por tradición como un momento de oscurantismo para occidente, en realidad afectó más que a nada a Europa, a pesar de que durante estos años muchos sabios y estudiosos continuaron con sus investigaciones. Por su parte, la cuna de occidente, Grecia, se dedicó a leer directo de la fuente los grandes matemáticos del mundo antiguo, hecho que además fue fundamental para la conservación y conocimiento actual de estos estudios. De esta forma, los grandes avances matemáticos que se dieron en el mundo durante la larga Edad Media, en realidad se le deben a las civilizaciones asiáticas de la India, el mundo árabe y los chinos, aportes que pueden ser descritos brevemente de la siguiente manera:

India

A pesar de que esta es una de las civilizaciones que menos documentos claros posee sobre su conocimientos matemáticos antiguos, los investigadores han podido establecer muchos de los logros e innovaciones que en esta materia puede atribuírsele a esta civilización. Entre ellos se encuentra la grafía de los números que terminaron imponiéndose en todo el mundo (1,2,4,5, etc.) y que erróneamente el público en general considera que son árabes, cuando en realidad son indios. Por otra parte fueron los matemáticos indios de la Edad Media los que introdujeron el cero, al tiempo que contaban con un antiguo sistema decimal, basado también en el carácter posicional. Lograron así mismo establecer y usar exitosamente las reglas de cálculo, y trabajaron arduamente por encontrar las relacionadas con las ecuaciones lineales, así como las cuadráticas. Así mismo, usaron las ecuaciones diofánticas, las cuales aplicaron a la Astronomía. Entre otros de los aportes más importantes del pueblo indio se encuentra la solución de la ecuación de Pelt. Los matemáticos más destacados de esta civilización fueron Aryabhata y Brahmagupta (ambos del siglo VI); Mahavira, quien habría vivido en el siglo IX; y finalmente Bhaskara Akaira, matemático del siglo XII.

Pueblo árabe

Debido a la gran extensión que alcanzó durante la edad media la religión musulmana, la cual llegó a poblar territorios que se extendían desde la península arábiga hasta la península ibérica, y más hacia oriente algunos otros que incluso colindaban con China, los árabes tuvieron la oportunidad de entrar en contacto con estos pueblos, absorbiendo conocimientos sobre todo de las civilizaciones griega, india y china, de las cuales tradujeron, leyeron y aprendieron, para después seguir sus propios caminos. Entre los descubrimientos y trabajos matemáticos más importantes del pueblo árabe se encuentran el haber popularizado en Occidente, el sistema numérico posicional usado por los indios, al tiempo que lo ampliaron a fin de aplicarlo también en fracciones decimales; así mismo trabajaron el método de extracción de raíces cuadradas y cúbicas, con lo cual lograban a su vez calcular raíces de grados superiores (trabajos realizados por Omar Khayyam); el nacimiento de el álgebra (impulsada por el matemático Mohammed Ibn Musa Al-Khwarizmi); ampliaron los trabajos de Arquímedes (Ibrahim ibn Sinan); creación de la Trigonometría plana y esférica (Habas al-Hasib y Nasir ad-Din at-Tusi matemáticos árabes que emplearon para esto el Teorema de Menelao, así también como la función del seno, que los especialistas atribuyen a los indios); creación de métodos numéricos en pro de la solución de ecuaciones. Estos conocimientos pasaron a occidente durante el siglo XII, cuando los eruditos se entregaron a la tarea de traducirlos, convirtiéndose junto a los trabajos griegos, en las dos grandes fuentes matemáticas de donde bebió, durante la Edad Media, el hombre europeo.

China

Esta fue otra de las grandes civilizaciones que durante la Edad Media avanzó en sus trabajos sobre Matemáticas. En este sentido, los dos principales logros de China durante esta etapa habrían sido: el Método del elemento celeste, el cual permitía encontrar raíces enteras y racionales, y cuyo desarrollo final se debe a Chou Shi Hié, y que muchos matemáticos equiparan con el actual método de Horner; así también China logró durante el Medioevo la suma de progresiones, logro que se le asignan a dos matemáticos, que sin embargo no compartieron el mismo siglo Chon Huo (quien vivió durante el siglo XI) y Yang Hui (perteneciente al siglo XIII). A partir del siglo XV los especialistas apuntas a que China vivió una época de estancamiento, sin que durante años surgiera otro tipo de aporte de relevancia.

Edad moderna

En cuanto a la Edad moderna, se puede decir que durante sus dos primeros siglos en realidad no hubo muchos avances en materia de Matemáticas, los cuales sucedieron a partir del siglo XVI, y que pueden contarse según estos momentos:

El Renacimiento

Aunque se considera que el Renacimiento comenzó oficialmente en el siglo XV, no fue sino hasta el siglo siguiente, es decir, el siglo XVI, que Europa consiguió avances de importancia a nivel matemático. En este sentido, los trabajos de mayor relevancia se dieron entonces en cuanto a los números complejos, área donde se distingue Nicole Oresme, quien consiguió una fórmula algebraica, que le permitía dar solución a ecuaciones de tercer y cuarto grado. Así mismo, otros matemáticos, siguiendo el furor de este descubrimiento se interesaron y trabajaron en lograr solucionar ecuaciones de grados aún mayores, entre ellos François Viète, quien se convertiría en punto de referencia el siglo siguiente para científicos como Isaac Newton. Igualmente, el siglo XVI fue testigo de la introducción y uso de los signos modernos, tanto en Álgebra como en Matemáticas.

Siglo XVII

Durante este siglo, y acabado el Renacimiento, Europa comenzó a vivir un despertar de las Matemáticas, siendo los más importantes ocurridos en Occidente incluso desde los lejanos siglos de la cultura helénica en los que vivió Arquímedes, y que pueden contarse entre los siguientes: en primer lugar, gracias a los trabajos de John Napier se descubrieron los logaritmos, lo cual siglos después potenciaría el trabajo de astrónomos como Pierre Simon Laplace; igualmente, Fermat logró hacer importantes avances en cuanto a la Teoría de Números, la cual pareció superar el estancamiento medieval, para reconectarse con la gran actividad que vivió durante los años de la Grecia helénica, y cuyo logro más destacado fue el Teorema de Fermat; por su parte René Descartes logró descubrir la Geometría Analítica, lo que daría legitimidad a los trabajos de Newton, mientras que Gérard Desargues descubrió la Geometría proyectiva. Así mismo, fue en este siglo en donde se concibió la Teoría de la Probabilidad, además de un descubrimiento que revolucionaría sin precedentes la Historia de las Matemáticas: el descubrimiento del Cálculo, por parte de Isaac Newton, tanto diferencial como integral, aun cuando debió pelear inicialmente el crédito de su descubrimiento con Wilhem Leibniz, quien aunque llegó casi una década después a la misma conclusión, se adelantó a publicar su descubrimiento, cosa que Newton no hizo. No obstante, prevaleció el sistema de notación planteado por Leibniz.

Siglo XVIII

Se puede decir que el siglo final de la Edad Moderna fue el siglo de las Matemáticas aplicadas, puesto que durante estas décadas importantes matemáticos se dieron a la tarea de expresar y resolver importante problemas de áreas como Astronomía, Ingeniería y sobre todo Física, tomando para ellos los importantes avances que en el siglo anterior habían hecho Isaac Newton y su rival Wilhem Leibniz. Entre los matemáticos más importantes de esta centuria se destacan los hermanos Bernoulli, a quien se les atribuye el haber descubierto el Cálculo de variaciones; así como Gaspard Monge, quien inventó la Geometría descriptiva; Joseph Louis Lagrange, pionero en la Mecánica analítica y creador de las ecuaciones de Lagrange y desarrollador de la Teoría de grupos;  Pierre-Simon Laplace autor de textos como Teoría Analítica de las Probabilidades (1812) y Mecánica celeste (1799); y el gran Leonard Euler, quien hizo grandes descubrimientos en materia de Cálculo y Matemáticas aplicadas. No obstante, y pese a los avances que tuvieron lugar durante este siglo, el final de esta centuria se vio marcado por un estancamiento, debido a los distintos métodos y visiones sobre el Cálculo, las cuales no parecían llegar finalmente a una forma adecuada.

Edad contemporánea

Así también, la Edad contemporánea ha marcado una época muy importante en cuanto al desarrollo de las Matemáticas, la cual puede ser analizada también en cada uno de los siglos que la componen hasta ahora:

Siglo XIX

Este siglo se inauguró resolviendo los problemas que no habían podido dilucidar los matemáticos anteriores, respecto al Cálculo, los cuales encontraron dicha solución de mano del matemático Augustin Louis Cauchy, quien concibiendo un Cálculo basado en cantidades finitas logró el enfoque lógico por el que la humanidad había esperado, y que también le debe su concreción final a Julius W.R. Dedekind, matemático alemán primero en lograr, basándose en los números racionales, definir los números reales.

Durante el siglo XIX, se destacan algunos otros importantes matemáticos como por ejemplo: Petrer G.L Dirichlet, quien logró esbozar la definición adecuada de función matemática; Carl Friedrich Gauss, quien logró concebir a su vez la definición de número complejo y la demostración del Teorema fundamental del Álgebra; Jean-Baptiste Joseph Fourier, quien concibió las series de Fourier; Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor, quien logró promulgar a su vez la conocida Teoría de Cantor, la cual constituye una de las teorías matemáticas fundamentales; Riemann y sus estudios sobre geometrías no euclídeas, siendo su mayor descubrimiento en esta área las múltiples paralelas, las cuales encontrarían a su vez múltiples aplicaciones en la Física durante el siglo siguiente; George Peacok, quien inventó el álgebra simbólica; Willian Rowan Hamilton, quien descubrió su sistema de cuaternas; Hermann Günther Grassmann, que se destacó por su estudio de espacios ordenados dimensionalmente; Josiah Willard Gibbs y el análisis vectorial; Évariste Galois, quien logró determinar cómo una ecuación algebraica se revuelve a través de un radical; Marius Sophus Lie (quien concibió su teoría de Grupos de Lie) y Felix Klein (creador del Programa Erlanger) matemáticos europeos que usaron la geometría para estudiar el álgebra.

Siglo XX

Por su parte, este siglo continúo marcando pauta en el área de las Matemáticas aplicadas, sobre todo en lo referente a la Topología, Ciencia que vino a fortalecerse notablemente gracias al lenguaje formal de la Geometría. Así mismo, la comunidad científica inició una discusión que se ha extendido por décadas sobre las paradojas, la cual inició a raíz de las paradojas precisadas en la Teoría de Cantor, de las cuales al menos una fue encontrada por Bertrand Russell, la cual destaca especialmente, pues éste llegó incluso a poner en cuestión la definición de conjunto. Esta situación que preocupó a la comunidad matemática internacional dio como resultado la concepción de Teorías de Conjuntos, que se distinguía por su gran nivel de restrictividad. No obstante, el hecho más significativo en las Matemáticas del siglo XX ocurrió en el primer año de esta centuria, cuando en 1900, durante las Conferencias de Hilbert, su autor, el matemático alemán David Hilbert planteó a la comunidad académica un total de 23 problemas matemáticos sin solución (conocidos por tradición como los Problemas de Hilbert) y que según su criterio deberían ser los senderos por los que debía transitar la disciplina de las Matemáticas durante los próximos cien años, y que de hecho se convirtieron en el reto y el trabajo de gran parte de esta comunidad, la cual –sobre todo a raíz de la invención de la computadora hacia finales del siglo XX- logró resolver varios de ellos.

Siglo XXI

Este siglo se inauguró teniendo como reto muchos de los problemas de Hilbert, que aún están por resolver, y que aun cuando el matemático del siglo XXI trabajó desde principios de esta centuria con computadoras cada día más avanzadas, también debió enfrentarse desde sus inicios a retos cruciales, como por ejemplo la solución de las hipótesis de Riemann, uno de los tantos Problemas de Hilbert sin resolver. Igualmente, el siglo XXI desde sus comienzos dio indicios de convertirse igualmente en el siglo de las Matemática aplicadas.

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