Las alturas de un triángulo como segmentos

Definiciones fundamentales

De esta manera, puede también considerarse conveniente delimitar esta revisión a seis definiciones precisas: la primera de ellas, la propia definición de Geometría, pues esto permitirá entender cuál es la naturaleza de la disciplina en la que ha nacido la idea de Alturas de triángulo. Así mismo, será necesario tener en cuenta los conceptos de Recta, Segmento de Recta, Polígonos, Triángulos y Altura de triángulos, por encontrarse directamente relacionados con los entes geométricos que se estudiarán posteriormente.  A continuación, cada uno de ellos:

Geometría

Por consiguiente, se comenzará por analizar la definición de Geometría, la cual ha sido entendida como una de las principales disciplinas de las Matemáticas, explicada como la materia que se encarga de estudiar cada una de las figuras, así como sus respectivas propiedades (longitud, altura, volumen, área, etc.). Así mismo, algunos autores han señalado que la Geometría puede ser explicada también como la ciencia de las medidas.

Con respecto a su origen, la Geometría también es vista como una de las disciplinas matemáticas más antiguas. En este sentido, quienes se inclinan por esta teoría señalan que así como el concepto de número pudo haber surgido de la noción de cantidad que manejaba el hombre primitivo, en sus primeros pasos por contabilizar y administrar sus recursos, la Geometría pudo tener su nacimiento, también en esta remota época, a la luz de los intentos de estos primeros hombres por entender, medir, manipular o replicar las distintas figuras de su entorno, viendo esto como el medio para procurarse armas y espacios cada vez más eficientes, hecho que se traducirían de forma directa en mayores posibilidades de sobrevivencia.

Recta

En segunda instancia, será también necesario abordar la definición de Recta, la cual ha sido explicada por las distintas fuentes como una figura geométrica unidimensional, es decir que tiene solo una dimensión, y que se encuentra constituida por una sucesión infinita de puntos, los cuales han de tener siempre la misma dirección. Sin embargo, esto no significa que la Recta que se produce de esta secesión deba tener un solo sentido, puesto que en realidad esta figura geométrica puede tener dos distintos sentidos, lo cual dependerá directamente de la lectura que se haga de ella.

Sin embargo, esta no es la única característica con la que cuenta la Recta, la cual se distinguirá también por tener los siguientes rasgos:

• La recta –al ser una secesión infinita de puntos- resultará también infinita. Por ende, en la Recta no podrá encontrarse ni punto de salida ni de final.
• Así mismo, la Recta será vista como la distancia más corta entre dos puntos.
• De hecho, la Recta será la única figura geométrica que puede pasar a través de dos puntos, situación que solo puede realizar una vez por oportunidad.
• Por último, la Recta se distinguirá por encontrarse siempre representada por una letra minúscula.

Segmento de recta

De igual forma, será de provecho lanzar luces sobre el concepto de Segmento de recta, el cual ha de ser entendido como el ente geométrico que se origina toda vez que en una línea Recta se trazan dos distintos puntos, dando origen entonces a un área delimita de la recta, la cual se conocerá como segmento, y que se caracterizará por los siguientes rasgos:

• El segmento se origina de la Recta, toda vez que en esta figura se tracen dos distintos puntos.
• Ergo, el Segmento es una zona de la Recta delimitada por dos puntos.
• A diferencia de la Recta, el Segmento es finito, puesto que al encontrarse delimitado por dos distintos puntos, tendrá entonces punto de origen y punto final.
• El segmento se caracterizará también por denominarse como dos letras mayúsculas, por ejemplo: el Segmento AB de la recta r.

Polígonos

Así también, resultará pertinente traer a capítulo la definición de Polígonos, los cuales han de ser definidos como aquellas figuras geométricas planas o bidimensionales, es decir, que cuentan tan solo con dos dimensiones: alto y ancho, sin que en ellos pueda encontrarse la tercera dimensión, la de la profundidad.

Por igual, los Polígonos podrán entenderse como figuras geométricas planas y totalmente cerradas, puesto que se encuentran plenamente delimitadas por un conjunto de segmentos de recta, hecho que le otorga a esta figura otra de sus características más importantes: está delimitada por lados totalmente rectos. De hecho, si existiese una figura geométrica plana y cerrada, en donde hubiese tan solo un lado curvo, entonces no podría hablarse de esta figura como un polígono.

Además, el Polígono se distingue por contar también con cuatro distintos elementos, los cuales han de ser explicados de la siguiente manera:

• Lados: estos se encontrarán constituidos por segmentos de recta, por lo que serán rectos. Su misión es constituir al Polígono. Incluso, es el número de lados de un polígono lo que determina el nombre de la figura geométrica.
• Vértices: al ser una figura completamente cerrada, sucederá también que los lados del polígono coinciden entre sí, generando entonces una serie de puntos de confluencia, los cuales recibirán el nombre de vértice.
• Ángulos: empero, cuando dos lados del polígono coinciden no solo surge un vértice, sino que estos segmentos de recta comienzan a delimitar un espacio geométrico específico, el cual se distinguirá a su vez por contar con los siguientes elementos: dos lados, constituidos por los lados del polígono o segmentos de recta que lo delimitan; un vértice, que coincidirá plenamente con el vértice del polígono, y por último una amplitud, la cual podrá ser medida en grados sexagesimales.
• Diagonales: en cuanto a las diagonales, la Geometría señala que pueden ser entendidas como los segmentos de recta, que se extienden entre dos vértices, cuya características obligatoria es la de no encontrarse ubicados de forma continua o contigua.

Triángulos

Dentro de los distintos conceptos que deberán revisarse, se encontrará también el de Triángulo, el cual ha de ser entendido entonces como el polígono, es decir, figura geométrica plana y cerrada, la cual se encuentra completamente delimitada por tres segmentos de recta. Ergo, el Triángulo puede ser entendido como un polígono de tres lados rectos. Así también, según señala la Geometría, en el Triángulo podrán verse cuatro distintos elementos:

• Tres lados: como polígono al fin, el Triángulo contará entonces con tres lados rectos. La igualdad o diferencia en cuanto a sus respectivas medidas será uno de los principales rasgos clasificatorios, que tome en consideración la Geometría, encontrándose al respecto tres tipos: Triángulos escalenos, Triángulos isósceles y Triángulos equiláteros.
• Tres vértices: siendo entonces un polígono o figura cerrada, los lados del Triángulo también se encontrarán entre sí, creando entonces sus respectivos vértices. En el caso de los triángulos se pueden contar tres de ellos, los cuales se encontrarán siempre de forma contigua.
• Tres ángulos: así también, los Triángulos tendrán tres ángulos, uno por cada vértice, y que contará con los siguientes elementos: dos lados, constituidos por los lados del triángulo; un vértice, que coincidirá por completo con el del triángulo, y una amplitud, medida en grados sexagesimales. Las respectivas medidas de los ángulos serán tomados en cuenta también por parte de la Geometría para hacer una clasificación de los triángulos: Triángulos acutángulos, Triángulos rectángulos y Triángulos obtusángulos.
• Sin diagonales: otra de las características con las que cuentan los Triángulos es con la de no tener diagonales, situación que se presenta básicamente por contar con todos sus vértices, ubicados de manera contigua.

Alturas de un triángulo

Finalmente, también será de ayuda revisar el concepto de Altura de triángulo, la cual es entendida como la recta o segmento que resulta perpendicular a uno de los lados del triángulo y nace de su vértice opuesto. Cuando la Altura es determinada por medio de líneas rectas, las cuales parten de un vértice, para encontrarse perpendicularmente con uno de los lados o su prolongación, también tiene lugar el Ortocentro, entendido entonces como el punto en común en donde confluyen las líneas rectas que constituyen las alturas del triángulo.

Las alturas como segmento

Una vez se han revisado estos conceptos, puede que ciertamente sea mucho más sencillo abordar una explicación sobre las Alturas de un triángulo cuando son expresadas por medio de segmentos.  En consecuencia se puede decir que así como la Altura es entendida como la recta perpendicular que surge desde un vértice hasta un lado o la prolongación de este, la Altura como segmento será entonces un segmento de recta perpendicular que se trace entre un vértice del triángulo y el lado opuesto o su prolongación, estableciéndose él mismo como un segmento perpendicular.

Ejemplo de cómo trazar las alturas del triángulo como segmentos

Sin embargo, puede que la mejor manera de entender estas entidades geométricas sea a través de un ejemplo concreto, tal como el que se muestra a continuación:

Suponiendo que se tenga este triángulo ABC, y se desee trazar sus distintas alturas, se procederá entonces en primer lugar a trazar un segmento de recta que salga desde el vértice A y que vaya hasta el lado opuesto a este CB. Al hacerlo se creará el punto H, y por ende la altura AH.

Así mismo, se tomará el vértice B, y se trazará un segmento, que puede extenderse hasta que se encuentre de forma perpendicular con la prolongación del lado CA, creándose entonces la altura como segmento BN.

En tercer lugar, se trazará igualmente un segmento perpendicular entre el vértice C y el lado AB, creándose entonces la altura del segmento CM.

De esta forma, se han trazado los tres segmentos perpendiculares AH, BN y CM, los cuales constituyen las alturas de segmentos de recta. Así mismo, la Geometría señala que esta medida se usa especialmente para determinar el área del Triángulo.

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