Leyes de Morgan en el Conjunto complementario

Definiciones fundamentales

Por consiguiente, puede que sea pertinente abordar la propia definición de Conjunto, pues esto permitirá tener presente la naturaleza en torno al cual se dan las distintas operaciones y relaciones matemáticas de estas propiedades. Así mismo, se traerán a colación las definiciones de los tipos de conjuntos que intervienen en el complemento, al igual que aquellas correspondientes a las operaciones que pueden encontrarse en las Leyes de Morgan. A continuación, cada uno de estos conceptos:

Conjunto

En este sentido, se tiene entonces que por lo general las distintas fuentes matemáticas coinciden en señalar al Conjunto como una agrupación conformada y definida, de forma única y exclusiva, por una colección de elementos, entre los cuales puede encontrarse un rasgo común, que permite entenderlos como parte de la misma naturaleza, de ahí que pueda vérseles entonces como una agrupación o colección abstracta. La forma de expresar los conjuntos se llevará a cabo bajo tres parámetros específicos: en primer lugar, esta colección será nombrada en base al nombre de una letra mayúscula, sus elementos irán siempre encerrados entre llaves { }, mientras que serán nombrados en forma de listado, siendo separados por comas.

Conjunto complementario

Igualmente surge como necesario detenerse brevemente en la definición de Conjunto complementario, el cual es visto por el Álgebra de conjuntos como aquella colección que se establece en base a otro conjunto específico, conteniendo entonces todos aquellos elementos que no pueden encontrarse en éste, teniendo también como referencia al Conjunto Universal, en donde residirán de forma plena todos los elementos de ese universo en específico. Por consiguiente, en términos matemáticos se puede decir también que el Conjunto complementario es el resultado de la operación de Diferencia entre el Conjunto Universal y el Conjunto:

A^∁ = U \ A

Operación de Unión

Por otro lado, también es necesario definir una de las operaciones en base a la cual se cumplen algunas de las Leyes de Morgan: la Unión, la cual puede ser descrita como una operación propia del Álgebra de conjuntos, en la que dos colecciones conforman un tercer conjunto en donde pueden verse entonces todos los elementos que conforman a cada una de los conjuntos que le dieron vida. Así mismo, esta operación puede ser expresada matemáticamente de la siguiente forma:

A ∪ B = │A│ + │B│

Operación de Intersección

Finalmente, será importante revisar también  la definición de la Intersección, la cual ha sido definida por el Álgebra de conjuntos como la operación que ocurre entre dos conjuntos, dando como resultado un tercer conjunto en donde se pueden apreciar como elementos aquellos que resultan comunes para ambos conjuntos, siempre y cuando hayan elementos comunes, puesto que de lo contrario, es decir, en caso de que sean colecciones disconjuntas, el resultado de la operación de Intersección dará como resultado el Conjunto vacío. Esta operación será expresada a través del signo ∩:

A ∩ B=

Leyes de Morgan

Teniendo presentes estas definiciones quizás sea entonces mucho más sencillo comprender el sentido de cada una de estas relaciones de Unión e Intersección de conjuntos, que se dan en base al Conjunto complementario, y que pueden ser descritas a su vez de la siguiente forma:

Ley de Morgan con respecto a la Unión

Esta Ley o propiedad matemática, según lo que indican las diferentes fuentes de Álgebra de Conjuntos, señala que siempre y en todo caso, el conjunto complementario de la Unión de dos conjuntos resulta ser equivalente a la intersección que puede ocurrir entre cada uno de los conjuntos complementarios de estos. Igualmente, esta propiedad o Ley de Morgan puede ser expresada matemáticamente de la siguiente forma:

(A ∪ B)^∁ =  A^∁ ∩ B^∁

No obstante, quizás la forma más eficiente de explicar esta primera Ley de Morgan sea a través de la exposición de un ejemplo, que permita mostrar cómo se cumplen cada una de las operaciones y relaciones que se encuentran planteadas en esta propiedad, tal como se muestra a continuación:

Dado un Conjunto A, conformado por nombres de instrumentos musicales en general: A= {Pandereta, Guitarra, Violín, Piano, Clarinete, Flauta, Batería, Tambor} y un conjunto B, en donde se pueden contar como elementos instrumentos musicales de cuerda: B= {Guitarra, Violín, Piano, Viola, Bandolina} comprobar cómo se cumple la Ley de Morgan respecto a la Unión, teniendo en cuenta que en este caso se tiene el siguiente Conjunto Universal: U= {Pandereta, Guitarra, Violín, Piano, Clarinete, Flauta, Batería, Tambor, Viola, Bandolina, Castañuelas, Triángulo, Trombón, Trompeta, Saxofón, Maracas, Xilófono}

A fin de cumplir con lo solicitado en este postulado, se deberá traer a colación la expresión matemática de esta Ley de Morgan, a fin de poder ir desarrollando cada una de las operaciones que en ella se indican, lo cual a su vez permitirá corroborar o no las equivalencias que plantea:

(A ∪ B)^∁ =  A^∁ ∩ B^∁

En primer lugar entonces, se deberá establecer un conjunto complementario de la unión del conjunto A y B. Por consiguiente, se realizará primero la operación de Unión:

A= {Pandereta, Guitarra, Violín, Piano, Clarinete, Flauta, Batería, Tambor}
B= {Guitarra, Violín, Piano, Viola, Bandolina}

A ∪ B=
A ∪ B= {Pandereta, Guitarra, Violín, Piano, Clarinete, Flauta, Batería, Tambor} ∪ {Guitarra, Violín, Piano, Viola, Bandolina}

A ∪ B= {Pandereta, Guitarra, Violín, Piano, Clarinete, Flauta, Batería, Tambor, Viola, Bandolina}

Luego se determinará el complemento, usando como referencia al conjunto universal, y estableciendo una operación de diferencia entre él y el conjunto A ∪ B:

A ∪ B= {Pandereta, Guitarra, Violín, Piano, Clarinete, Flauta, Batería, Tambor, Viola, Bandolina}
U= {Pandereta, Guitarra, Violín, Piano, Clarinete, Flauta, Batería, Tambor, Viola, Bandolina, Castañuelas, Triángulo, Trombón, Trompeta, Saxofón, Maracas, Xilófono}

(A ∪ B)^∁ =  U \ A∪B
(A ∪ B)^∁ =  {Pandereta, Guitarra, Violín, Piano, Clarinete, Flauta, Batería, Tambor, Viola, Bandolina, Castañuelas, Triángulo, Trombón, Trompeta, Saxofón, Maracas, Xilófono} \ {Pandereta, Guitarra, Violín, Piano, Clarinete, Flauta, Batería, Tambor, Viola, Bandolina}
(A ∪ B)^∁ =  {Castañuelas, Triángulo, Trombón, Trompeta, Saxofón, Maracas, Xilófono}

Seguidamente, se deberá  determinar entonces los respectivos conjuntos complementarios de A y de B, tal como se muestra a continuación:

Complemento de A:

A= {Pandereta, Guitarra, Violín, Piano, Clarinete, Flauta, Batería, Tambor}
U= {Pandereta, Guitarra, Violín, Piano, Clarinete, Flauta, Batería, Tambor, Viola, Bandolina, Castañuelas, Triángulo, Trombón, Trompeta, Saxofón, Maracas, Xilófono}

A^∁= U\A

A^∁= {Pandereta, Guitarra, Violín, Piano, Clarinete, Flauta, Batería, Tambor, Viola, Bandolina, Castañuelas, Triángulo, Trombón, Trompeta, Saxofón, Maracas, Xilófono} \ {Pandereta, Guitarra, Violín, Piano, Clarinete, Flauta, Batería, Tambor}

A^∁= {Viola, Bandolina, Castañuelas, Triángulo, Trombón, Trompeta, Saxofón, Maracas, Xilófono}

Complemento de B:

B= {Guitarra, Violín, Piano, Viola, Bandolina}

U= {Pandereta, Guitarra, Violín, Piano, Clarinete, Flauta, Batería, Tambor, Viola, Bandolina, Castañuelas, Triángulo, Trombón, Trompeta, Saxofón, Maracas, Xilófono}

B^∁ = U\B
B^∁ = {Pandereta, Guitarra, Violín, Piano, Clarinete, Flauta, Batería, Tambor, Viola, Bandolina, Castañuelas, Triángulo, Trombón, Trompeta, Saxofón, Maracas, Xilófono} \ {Guitarra, Violín, Piano, Viola, Bandolina}

B^∁ = {Pandereta, Clarinete, Flauta, Batería, Tambor, Castañuelas, Triángulo, Trombón, Trompeta, Saxofón, Maracas, Xilófono}

Obtenidos estos conjuntos complementarios, se deberá realizar una operación de intersección entre ellos:

A^∁ ∩ B^∁ =

A^∁ ∩ B^∁ = {Viola, Bandolina, Castañuelas, Triángulo, Trombón, Trompeta, Saxofón, Maracas, Xilófono} ∩ {Pandereta, Clarinete, Flauta, Batería, Tambor, Castañuelas, Triángulo, Trombón, Trompeta, Saxofón, Maracas, Xilófono}

A^∁ ∩ B^∁ = {Castañuelas, Triángulo, Trombón, Trompeta, Saxofón, Maracas, Xilófono}

Se deberán comparar entonces los distintos resultados, para verificar si se cumplen o no las equivalencias señaladas por esta propiedad:

(A ∪ B)^∁ =  {Castañuelas, Triángulo, Trombón, Trompeta, Saxofón, Maracas, Xilófono}

A^∁ ∩ B^∁ = {Castañuelas, Triángulo, Trombón, Trompeta, Saxofón, Maracas, Xilófono}

Al hacerlo, se puede ver entonces cómo son exactamente iguales, quedando comprobada entonces la Primera Ley de Morgan en cuanto a la Unión:

(A ∪ B)^∁ =  A^∁ ∩ B^∁

Segunda Ley de Morgan en cuanto a la Intersección

Por su parte, la segunda Ley de Morgan señala que el Conjunto complementario de la Intersección entre el conjunto A y el Conjunto B resulta en siempre y en todo caso equivalente  a la Unión que puede darse entre los conjuntos complementarios de cada conjunto, lo cual puede ser expresado, matemáticamente hablando, de la siguiente forma:

(A ∩ B)^∁ = A^∁ ∪ B^∁

No obstante, puede que en este caso también sea necesario exponer un ejemplo concreto en donde quede demostrado cómo se cumplen cada una de las operaciones y relaciones concernientes a esta propiedad, para lo cual se usarán los mismos conjuntos que con los que se demostró la primera Ley de Morgan, tal como se muestra seguidamente:

Dado un Conjunto A= {Pandereta, Guitarra, Violín, Piano, Clarinete, Flauta, Batería, Tambor} y un conjunto B= {Guitarra, Violín, Piano, Viola, Bandolina} comprobar cómo se cumple la Ley de Morgan respecto a la Intersección, teniendo en cuenta que el Conjunto Universal: U= {Pandereta, Guitarra, Violín, Piano, Clarinete, Flauta, Batería, Tambor, Viola, Bandolina, Castañuelas, Triángulo, Trombón, Trompeta, Saxofón, Maracas, Xilófono}

El primer paso que se seguirá será el traer a colación la expresión matemática de la Ley de Morgan que se quiere comprobar, para así cumplir con las distintas operaciones que ahí se indican:

(A ∩ B)^∁ = A^∁ ∪ B^∁

Se procederá entonces a realizar la operación de Intersección entre A y B:

A= {Pandereta, Guitarra, Violín, Piano, Clarinete, Flauta, Batería, Tambor}
B= {Guitarra, Violín, Piano, Viola, Bandolina}

A ∩ B=
A ∩ B=  {Pandereta, Guitarra, Violín, Piano, Clarinete, Flauta, Batería, Tambor} ∩ {Guitarra, Violín, Piano, Viola, Bandolina}

A ∩ B= {Guitarra, Violín, Piano}

Tomando como referencia el Conjunto Universal se determinará el complemento de este conjunto:

A ∩ B= {Guitarra, Violín, Piano}
U= {Pandereta, Guitarra, Violín, Piano, Clarinete, Flauta, Batería, Tambor, Viola, Bandolina, Castañuelas, Triángulo, Trombón, Trompeta, Saxofón, Maracas, Xilófono}

(A ∩ B)^∁=  U \ A ∩ B
(A ∩ B)^∁=  {Pandereta, Guitarra, Violín, Piano, Clarinete, Flauta, Batería, Tambor, Viola, Bandolina, Castañuelas, Triángulo, Trombón, Trompeta, Saxofón, Maracas, Xilófono} \ {Guitarra, Violín, Piano}
(A ∩ B)^∁=  {Pandereta, Clarinete, Flauta, Batería, Tambor, Viola, Bandolina, Castañuelas, Triángulo, Trombón, Trompeta, Saxofón, Maracas, Xilófono}

Se determinarán entonces cada uno de los complementos de los conjuntos:

Complemento de A

A= {Pandereta, Guitarra, Violín, Piano, Clarinete, Flauta, Batería, Tambor}
U= {Pandereta, Guitarra, Violín, Piano, Clarinete, Flauta, Batería, Tambor, Viola, Bandolina, Castañuelas, Triángulo, Trombón, Trompeta, Saxofón, Maracas, Xilófono}

A^∁ = U \ A

A^∁ = {Pandereta, Guitarra, Violín, Piano, Clarinete, Flauta, Batería, Tambor, Viola, Bandolina, Castañuelas, Triángulo, Trombón, Trompeta, Saxofón, Maracas, Xilófono} \ {Pandereta, Guitarra, Violín, Piano, Clarinete, Flauta, Batería, Tambor}

A^∁ = {Viola, Bandolina, Castañuelas, Triángulo, Trombón, Trompeta, Saxofón, Maracas, Xilófono}

Complemento de B

B= {Guitarra, Violín, Piano, Viola, Bandolina}
U= {Pandereta, Guitarra, Violín, Piano, Clarinete, Flauta, Batería, Tambor, Viola, Bandolina, Castañuelas, Triángulo, Trombón, Trompeta, Saxofón, Maracas, Xilófono}

B^∁= U\B
B^∁= {Pandereta, Guitarra, Violín, Piano, Clarinete, Flauta, Batería, Tambor, Viola, Bandolina, Castañuelas, Triángulo, Trombón, Trompeta, Saxofón, Maracas, Xilófono} \ {Guitarra, Violín, Piano, Viola, Bandolina}

B^∁= {Pandereta, Clarinete, Flauta, Batería, Tambor, Castañuelas, Triángulo, Trombón, Trompeta, Saxofón, Maracas, Xilófono}

Se deberá realizar entonces una operación de Unión entre estos conjunto complementarios:

A^∁ ∪ B^∁ =

A^∁ ∪ B^∁ = {Viola, Bandolina, Castañuelas, Triángulo, Trombón, Trompeta, Saxofón, Maracas, Xilófono} ∪ {Pandereta, Clarinete, Flauta, Batería, Tambor, Castañuelas, Triángulo, Trombón, Trompeta, Saxofón, Maracas, Xilófono}

A^∁ ∪ B^∁ = {Pandereta, Clarinete, Flauta, Batería, Tambor, Viola, Bandolina, Castañuelas, Triángulo, Trombón, Trompeta, Saxofón, Maracas, Xilófono}

Finalmente, se comparan los resultados alcanzados:

(A ∩ B)^∁=  {Pandereta, Clarinete, Flauta, Batería, Tambor, Viola, Bandolina, Castañuelas, Triángulo, Trombón, Trompeta, Saxofón, Maracas, Xilófono}

A^∁ ∪ B^∁ = {Pandereta, Clarinete, Flauta, Batería, Tambor, Viola, Bandolina, Castañuelas, Triángulo, Trombón, Trompeta, Saxofón, Maracas, Xilófono}

Al hacerlo, se puede ver cómo son exactamente iguales, por lo que entonces se puede considerar comprobada la Ley de Morgan con respecto a la Intersección:

(A ∩ B)^∁ = A^∁ ∪ B^∁

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