Método de las proporciones en la Regla de tres compuesta directa-inversa

Definiciones fundamentales

De esta manera, puede que también sea recomendable delimitar esta explicación teórica a seis nociones específicas: Razones, Proporciones, Magnitudes directamente proporcionales, Magnitudes inversamente proporcionales, Magnitudes proporcionales a otras varias y Regla de tres compuesta directa-inversa, por encontrarse directamente relacionadas con el procedimiento que se estudiará posteriormente. A continuación, cada una de estas definiciones:

Razones

Por consiguiente, se comenzará por decir que las Razones han sido explicadas por las Matemáticas como las expresiones, cuya misión es dar cuenta del Cociente existente entre dos números. Por ende, las Razones son usadas entonces para señalar cuántas veces se encuentra contenido el Divisor entre el Dividendo. Algunos ejemplos de Razones pueden ser las siguientes:

Así también, la disciplina matemática ha indicado que las Razones se encuentran conformadas por dos elementos: el primero de ellos, el Antecedente, el cual ocupa el ámbito superior de la razón, encargándose entonces de señalar el Dividendo entre el Divisor; por otro lado, se encuentra también el Consecuente, elemento que se ubica en la parte inferior de la razón, y que tiene como tarea señalar cuál es el Divisor, correspondiente a la División que origina el Cociente que expresa la Razón.

Por otro lado, las Matemáticas también advierten sobre la necesidad de no confundir las Razones con las Fracciones, pues aun cuando estas expresiones presentan estructuras parecidas, en realidad constituyen elementos matemáticos diferentes. En este sentido, se tendrá entonces que las Razones –conformadas por el Antecedente y el Consecuente- dan cuenta del cociente entre dos números, mientras que las Fracciones –constituidas por el Numerador y el Denominador- se encargan de señalar cuántas partes se han tomado respecto a una unidad, que se encuentra a su vez dividida en partes iguales.

Proporciones

En segunda instancia, también será necesario tomar un momento para revisar de forma general el concepto de Proporciones, las cuales han sido descritas entonces como la relación de igualdad que puede existir entre dos razones. A continuación, un ejemplo de razones iguales o proporcionales:

Al revisar estas razones, puede verse cómo pese a que ninguno de sus elementos coincide entre sí, con respecto a su valor, en realidad pueden considerarse como iguales o proporcionales, en tanto que si se resolvieran, en ambos casos arrojaría como resultado un cociente igual a dos. Por ende, aunque sus valores no coincidan, ambas razones pueden considerarse expresiones del mismo cociente:

Sin embargo, esa no es el único método que las Matemáticas conciben para determinar si dos razones son proporcionales o no, ya que también podría emplearse el método de los Extremos y los Medios. Para esto, será entonces necesario multiplicar entre sí los Extremos –constituidos por el Antecedente de la primera razón y el Consecuente de la segunda- al igual que se hará con los Medios –el Consecuente de la primera expresión y el Antecedente de la segunda. Si ambos productos coinciden, se toman entonces las razones como proporcionales:

Este atributo es conocido como una de las principales leyes de la proporción, y resulta bastante útil a la hora de determinar alguno de los elementos de la proporción que pudiera presentarse como incógnito o desconocido. Con este propósito se deberá entonces multiplicar los elementos del ámbito que se encuentra completo, bien si corresponde a los Extremos o los Medios, para luego dividir este producto entre el elemento del ámbito que se debe completar. El resultado será el elemento que viene a completar la proporción.

Magnitudes directamente proporcionales

En tercer lugar, será también necesario pasar revista sobre el concepto de Magnitudes directamente proporcionales. No obstante, puede que antes de avanzar en esta división, también será necesario tomar un momento para traer a capítulo el propio concepto de Magnitudes, las cuales han sido descritas como el conjunto de elementos que pueden sumarse, ordenarse o compararse con otras unidades que les resulten semejantes, o de la misma naturaleza.

Con respecto entonces al concepto de Magnitudes directamente proporcionales, estas han sido explicadas como el conjunto o par de magnitudes, en donde puede verse la propiedad de que cuando una de ellas se multiplica por o se divide entre un factor específico, la otra con la que hace conjunto reacciona en el mismo sentido, es decir, multiplicándose o dividiéndose entre el mismo factor.

Magnitudes inversamente proporcionales

Otro concepto que será necesario revisar, en aras de entender en su contexto preciso el Método de las proporciones en la Regla de tres compuesta directa-inversa, sea el de Magnitudes inversamente proporcionales, las cuales serán explicadas como aquellas magnitudes que resultan proporcionales a más de una magnitud, siempre y cuando las restantes permanezcan fijas. Este tipo de magnitudes generan proporciones en las que intervienen tres distintos tipos de magnitudes, lo cual viene a ser la excepción a la norma, la cual señala que las proporciones se establecen entre tan solo dos magnitudes.

Regla de tres compuesta directa-inversa

En último lugar, también será recomendable prestar atención a la definición de Regla de tres compuesta directa-inversa, la cual ha sido descrita de forma general por las Matemáticas como el procedimiento dirigido a despejar algún elemento que hubiese podido parecer como incógnito en una proporción constituida por tres distintas magnitudes, es decir, sostenida entre una magnitud proporcional a otras varias. Sin embargo, en la Regla de tres compuesta directa-inversa se sucede que existen dos magnitudes que resultan directamente proporcionales, y otras dos que resultarán inversamente proporcionales.

Por otro lado, la disciplina matemática también señala que existen dos métodos posibles, para dar solución a la Regla de tres compuesta directa-inversa: el Método de la reducción a la unidad y el Método de las proporciones.

Método de las proporciones en la Regla de tres compuesta directa-inversa

Una vez se han explicado cada una de estas definiciones, puede que ciertamente sea mucho más sencillo aproximarse al concepto del Método de las proporciones, aplicado en los ejercicios de Regla de tres compuesta inversa, el cual básicamente puede describirse como el ejercicio que busca plantear la proporción que existe entre tres magnitudes, en donde dos son directamente proporcionales, y las otras dos son inversamente proporcionales, y a su vez despejar alguno de los elementos de esta proporción, que pudiera resultar desconocido, a través de la ley de la proporcionalidad.

De acuerdo a lo que indican las distintas fuentes, la forma correcta de proceder en cuanto a este método, una vez se ha presentado la incógnita, será entonces la siguiente:

1.- Colocar la información presentada por el ejercicio en una tabla informativa, pues esto ayudará a ver mejor todos los datos numéricos que existen por magnitud, así como ver más claramente cuáles son las razones que deben constituirse, para formar posteriormente la proporción de tres magnitudes.

2.- Plantear la proporción entre tres magnitudes, teniendo cuidado de multiplicar las dos primeras razones, las cuales establecen una igualdad o proporción con la tercera. Sin embargo, como la segunda razón por lo general establecerá una relación inversamente proporcional con la tercera, entonces deberá anotarse como inverso, antes de multiplicarse con la primera razón.

3.- Habiendo obtenido una proporción de dos razones, y en donde existe un elemento incógnito, se deberá entonces aplicar un ejercicio de Regla de tres simple directa, para dar solución al ejercicio. El elemento determinado completa la proporción.

Ejemplo de la aplicación del Método de las proporciones en la regla de tres compuesta directa-inversa

Sin embargo, puede que la mejor manera de completar una explicación sobre este tipo de procedimiento o método matemático sea a través de la exposición de un ejemplo, en donde se pueda ver de forma concreta cómo debe aplicarse cada uno de estos pasos en la práctica. A continuación, el siguiente ejercicio:

En una constructora, han construido un total de 4 casas en 30 días, empleando a 60 obreros. ¿Cuántos obreros se necesitarán a la hora de construir 6 casas en un período de 90 días?

Una vez planteado el ejercicio, lo primero que se hará será determinar el tipo de relaciones proporcionales que pueden establecerse entre las distintas magnitudes, y que básicamente serán las siguientes:

En primer lugar, se podrá encontrar una relación proporcional directa entre las magnitudes número de casas y número de días, pues si aumenta una también aumenta la otra.

Por otro lado, entre estas magnitudes también podrán considerarse como una relación inversamente proporcional constituida por el número de días y el número de obreros, en tanto que si se cuenta con muchos más días para elaborar el trabajo, aunque este aumente, disminuirá el número de obreros.

Hecho esto, se deberá entonces construir una tabla informativa, constituida por los datos que se poseen sobre las tres magnitudes expuestas por este ejercicio:

Número de casas	Número de días	Número de empleados
4	30	60
6	90	x

Este paso, ayuda a constituir entonces las razones sobre las cuales se dará la proporción. Por ende, esta se anotará tomando en cuenta anotar el inverso de la segunda magnitud, las cual es la que establece la relación inversamente proporcional:

Se resuelve entonces la multiplicación entre la primera razón y el inverso de la segunda:

Al hacerlo, la proporción queda reducida a tan solo dos razones. Tomando en cuenta además que uno de sus elementos se presenta como incógnito, se debe entonces aplicar un ejercicio de Regla de tres simple directa:

Resuelta la incógnita, se pueden tener entonces las siguientes relaciones:

4 casas se construyen en 30 días gracias a 60 obreros o empleados
6 casas se construyen en 90 días gracias a 30 obreros o empleados

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