Polinomio heterogéneo

Definición de Polinomio

En este sentido, según las distintas fuentes sobre Álgebra, se puede considerar al polinomio como una suma finita de términos algebraicos –o monomios- cuya característica primordial es la de contar con variables, cuyos exponentes correspondan única y exclusivamente a números positivos y enteros. Así mismo, entre las operaciones permitidas entre los distintos monomios que constituyen un polinomio se encuentran la suma, la resta y la multiplicación, siendo entonces la división la operación matemática inadmisible entre los distintos términos que conforman esta expresión algebraica.

Igualmente, el polinomio, formado por una serie de monomios entre los que se realiza una operación de suma, estará igualmente constituido por una serie de términos algebraicos, en los que se pueden distinguir varios elementos, tal como se muestra en la siguiente imagen:

De esta manera, cada elemento contaría con su propia definición y utilidad, entre las cuales se pueden contar las siguientes:

• Signo: es el primer elemento que se distingue en el polinomio. Puede ser tanto positivo (+) como negativo (-) teniendo como principal función la de señalar la naturaleza del coeficiente.
• Coeficiente: por su parte, el coeficiente estará conformado por un elemento numérico, y señalará la cantidad por la cual deberá multiplicarse la variable, en el momento en que se conozca el número que representa.
• Variable: así mismo, la variable está constituida por un elemento literal, es decir, una letra, que viene a representar un número específico, que bien no se conoce o está por descubrirse.
• Grado: finalmente, el grado está definido por la cantidad que revele el exponente, el cual por tratarse de un polinomio, corresponderá a un número entero positivo. Así mismo, entre otras funciones, el grado no sólo determinará el nombre que reciba el polinomio, sino que también puede ser tomado como elemento referente para determinar si esta expresión algebraica es heterogénea o no.

Polinomio heterogéneo

Por consiguiente, resulta pertinente definir también la categoría de Polinomio heterogéneo, el cual básicamente será el polinomio en donde no puede conseguirse coincidencia en todos los grados de sus diferentes términos, es decir, cuando los grados de cada uno de sus monomios sean diferentes entre sí. Incluso, si al menos de sus dos términos llegaran a coincidir en sus grados, si se encuentran otros monomios que no, es suficiente para considerar que se está ante presencia de un polinomio heterogéneo.

Cómo identificar un polinomio heterogéneo

Existen varios tipos de polinomios, de acuerdo tanto al número de términos, así también como a la cantidad de variables que presenten cada uno de ellos, las cuales –junto a sus exponentes- determinarán la forma en que debe obtenerse el grado de cada uno de los términos, a fin de poder comprobar, entre otras cosas, si se trata de un polinomio heterogéneo, o por el contrario un polinomio homogéneo. En tal sentido, se pueden tener básicamente dos situaciones de polinomios, en los cuales se procederá de la siguiente forma:

Polinomio heterogéneo (una variable)

En primer lugar, se puede tener un polinomio que cuente con una sola variable, como por ejemplo el que se presenta a continuación:

P(x) = 3x⁵ – 4x + 2x³ – 5

A pesar de que se podría comenzar por ordenar este polinomio de forma descendente:

P(x) = 3x⁵ + 2x³ – 4x – 5

Bastará una simple revisión de los grados expresados por los distintos exponentes de las variables de sus términos, para identificar que ninguno de ellos coinciden entre sí, por lo que además de estar en presencia de un polinomio de quinto grado –llamado también polinomio quíntico- se trata de un polinomio heterogéneo.

Polinomio heterogéneo (varias variables)

Sin embargo, también puede suceder que un polinomio cuente con términos que posean más de una variable, por lo que determinar el grado de cada uno de los términos en donde se dé esta condición puede requerir igualmente la suma de sus exponentes, con cuyos resultados, se podrá establecer entonces cuál es el grado de cada uno de ellos, y si se está en presencia de un polinomio heterogéneo o no. Un ejemplo de esto, lo puede constituir el polinomio que se da a continuación:

P_(x) = 4x² – 5xyz² – 3x2y³ – 4z² – 4

En cuyo caso, se requerirá someter a cada uno de los términos compuestos por más de una variable, a la suma de sus exponentes, a fin de determinar los grados de estos, tal como se muestra a continuación:

5xyz² → 1+1+2 = 4
3x2y³ → 1+ 3 = 4

Hecho esto, se puede ver cómo los términos 1 y 4 coinciden en grado, a poseer un grado dos, mientras que los términos 2 y 3 también lo hacen, al poseer un grado cuatro. Sin embargo, pese a las coincidencias, este polinomio corresponde a la categoría de polinomio heterogéneo, precisamente porque sus grados no coinciden entre sí.

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