Producto de dos binomios con un término en común

Definiciones fundamentales

En consecuencia, también se tomará la decisión de delimitar esta revisión teórica a tres nociones específicas: Binomio, Productos notables, Factor común, por encontrarse directamente relacionados con la regla matemática que se estudiará posteriormente. A continuación, las siguientes definiciones:

Binomio

En primer lugar, podrá decirse entonces que el Binomio ha sido explicado, de forma general por las diversas fuentes matemáticas, como una expresión algebraica, constituida por dos monomios (términos algebraicos compuestos a su vez por un término numérico y un término literal, entre los que sólo puede ocurrir una operación de multiplicación) que pueden establecer entre ellos operaciones de suma o resta.

De esta manera, el Binomio puede ser explicado entonces como un polinomio de dos términos. Un ejemplo de esta clase de expresión algebraica será el siguiente:

x² + 3y =

Factor común

Por otro lado, también será necesario traer a capítulo el concepto de Factor común, el cual ha sido señalado, de forma general, como una de las principales propiedades matemáticas que existen sobre la multiplicación.

De forma mucho más precisa, las Matemáticas señalan que el Factor común es una propiedad matemática, inversa a la Propiedad distributiva, que dicta que siempre la suma de dos términos se multiplica por un factor común, el resultado es igual a sumar cada uno de los sumandos multiplicados por este factor. Esta propiedad puede expresarse matemáticamente de la siguiente manera:

c . (a + b) = c.a + c.b

Productos notables

Finalmente, también será necesario lanzar luces sobre el concepto de Productos notables, los cuales han sido descritos como reglas fijas, orientadas a la Factorización, es decir, al proceso de expresar un polinomio en forma de un producto.

De acuerdo a lo que han indicado las distintas fuentes, el propósito de los Productos notables es mostrar la forma directa de hacer ciertas operaciones de multiplicación, sin necesidad de tener que multiplicar término por término, evitando así operaciones engorrosas, mayor inversión de tiempo, o incluso los errores que pudieran cometerse en la realización de operaciones sin el uso de estas reglas matemáticas.

Producto de dos binomios con un factor común

Toda vez se han revisado estas definiciones, puede que ciertamente sea mucho más sencillo abordar una explicación sobre el Producto de dos binomios con un término común, lo cual ha sido explicado como uno de los principales Productos notables, que de manera específica permite multiplicar dos binomios, cuya característica necesaria es la de tener un factor común.

De acuerdo a lo que señalan las Matemáticas, este Producto notable indica que siempre que se deban multiplicar dos Binomios, entre los que existan un factor común, el resultado será igual al cuadrado de este factor común más el producto de este factor común por la suma de los otros factores, más el producto de los factores no comunes. Esta ley matemática se puede expresar de la siguiente forma:

(x+a) . (x + b) = x² + (a + b).x + ab

Ejemplo de Producto de dos binomios con un factor común

Sin embargo, puede que la forma más idónea de cerrar esta explicación sea exponer un ejemplo concreto de cómo debe realizarse, según lo que dictan los Productos notables, toda operación que requiera multiplicar dos binomios en donde se encuentre un término en común. A continuación el siguiente ejercicio:

Multiplicar los siguientes binomios

(x + 2) . (x + 7) =

Al estudiar los dos binomios que deben multiplicarse, se observa que ambos coinciden en cuanto al elemento x. Por lo tanto, este puede ser considerado como el factor común, mientras que la operación puede ser vista como un Producto de dos binomios con un término común.

De esta manera, para resolver esta operación habrá que recordar lo que dictan los Productos notables, cuando señalan que cuando se quiere multiplicar dos binomios con un factor común, el producto será igual al cuadrado del factor común, más el producto de la suma de los dos elementos distintos por el factor común más el producto de los dos factores no comunes:

(x+a) . (x + b) = x² + (a + b).x + ab

En este caso se tiene entonces que la operación de multiplicación de estos binomios,  se desarrollará de la siguiente manera:

(x + 2) . (x + 7) =

x² + (2+7) . x + 2 . 7 =

x² + 9x + 14

Toda vez se ha realizado el procedimiento, tal como dictan los Productos notables en todo caso en donde dos binomios, que cuenten con Factor común, decidan multiplicarse, se encuentra entonces el siguiente resultado:

(x + 2) . (x + 7) = x² + 9x + 14

Es importante señalar que en esta caso, por ejemplo, todos los términos son positivos, puesto que ambos términos lo eran, pero en cada multiplicación de binomios con un factor común que se haga se debe tomar en cuenta los signos de cada elemento, y multiplicarlos también, basándose para esta operación en la Ley de signos.

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