Definiciones fundamentales

Al respecto, es probable que resulte pertinente entonces centrar esta revisión teórica en dos definiciones principales: en primera instancia, el concepto de Conjunto, lo cual permitirá manejar la naturaleza del objeto sobre el cual se realiza la operación de Diferencia Simétrica. Igualmente, puede ser de gran ayuda traer a colación la definición de Diferencia Simétrica, pues es en esta operación del Álgebra de conjuntos en donde tiene lugar esta propiedad. A continuación, cada uno de los conceptos:

Conjunto

En este orden de ideas se puede comenzar a decir entonces que las Matemáticas han entendido al Conjunto como una colección abstracta, conformada por un grupo de elementos entre los cuales puede distinguirse un rasgo común, y que cumplen con la tarea de constituir y definir –de una forma única y exclusiva- al conjunto. Por otro lado, en cuanto a la notación de este tipo de objetos, las Matemáticas también indican que estos deben contar con el nombre de una letra mayúscula, mientras sus elementos irán contenidos entre dos signos de llaves {} siendo presentados como una enumeración de elementos, separados por comas.

Diferencia Simétrica

En cuanto a la definición de Diferencia Simétrica, el Álgebra de conjuntos ha señalado que esta puede ser considerada como una operación básica, en donde dos conjuntos dan origen a una tercera colección en donde se pueden contar los elementos que aparecen en uno solo de estos conjuntos. Para explicarlo en otras palabras, una operación de Diferencia Simétrica puede ser entendida como la operación por medio de la cual un conjunto A y un conjunto B establecen un tercer conjunto A∆B conformado por aquellos elementos que aparecen en A pero no en el conjunto B, así como aquellos que aparecen en el conjunto B pero no en A. En otras palabras, la operación de Diferencia Simétrica será aquella en donde dos conjuntos conformen una tercera colección, en donde se encuentren aquellos elementos que aparecen una vez por conjuntos. La expresión matemática de esta operación corresponde a la siguiente forma: A∆B=

Propiedad conmutativa en la Diferencia Simétrica

Teniendo estas definiciones presentes, tal vez sea mucho más sencillo entender los aspectos relacionados a la Propiedad Conmutativa que puede observarse en la operación de Diferencia Simétrica, y que puede ser entendido cómo la propiedad matemática que dicta que no importa el orden en el que se presenten los conjuntos que participan de esta operación, pues siempre se obtendrá el mismo conjunto, es decir, que la colección originada, más allá del orden en el que se presenten sus elementos pueden ser considerados como iguales, si cuentan con los mismos elementos. Por su parte, la expresión matemática de esta propiedad será la siguiente:

A∆B = B∆A

Ejemplo de Propiedad Conmutativa en la Diferencia Simétrica

No obstante, la forma más eficiente de exponer una explicación sobre esta propiedad matemática de la Diferencia Simétrica puede que sea a través del planteamiento de un caso en concreto, que permita ver en la práctica cómo se cumple aquello que promulga esta Ley en su teoría. A continuación, un ejemplo de Propiedad Conmutativa en la Diferencia Simétrica:

Dado un conjunto A, en donde se puedan contar nombres de frutas que comiencen con la letra “m”: A= {Mandarina, Manzana, Melón, Maracuyá, Melocotón} y un conjunto B, en donde pueden contarse como elementos nombres de frutas en general: B= {Ananá, Sandía, Mandarina, Melón, Níspero, Naranja, Maracuyá} comprobar cómo se cumple la Propiedad Conmutativa en la operación de Diferencia Simétrica.

A fin de cumplir con el postulado de este ejercicio, se debe comenzar por plantear la propiedad que se desea comprobar, para así ir resolviendo las distintas operaciones que ello involucra:

A= {Mandarina, Manzana, Melón, Maracuyá, Melocotón}
B= {Ananá, Sandía, Mandarina, Melón, Níspero, Naranja, Maracuyá}

A∆B = B∆A

A∆B= {Mandarina, Manzana, Melón, Maracuyá, Melocotón} ∆ {Ananá, Sandía, Mandarina, Melón, Níspero, Naranja, Maracuyá}
A∆B= {Manzana, Melocotón, Ananá, Sandía, Níspero, Naranja}

B∆A= {Ananá, Sandía, Mandarina, Melón, Níspero, Naranja, Maracuyá} ∆ {Mandarina, Manzana, Melón, Maracuyá, Melocotón}
B∆A= {Ananá, Sandía, Níspero, Naranja, Manzana, Melocotón}

Hecho esto, se deberá entonces comparar los resultados obtenidos:

A∆B= {Manzana, Melocotón, Ananá, Sandía, Níspero, Naranja}
B∆A= {Ananá, Sandía, Níspero, Naranja, Manzana, Melocotón}

Al hacerlo se puede ver cómo los dos resultados obtenidos, aunque varían un poco en su orden, cuentan exactamente con los mismos elementos, por lo que pueden ser considerados entonces como conjuntos iguales. En este sentido, se ha podido comprobar entonces cómo sin importar el orden en el que se presenten los conjuntos en una operación de Diferencia Simétrica el resultado final no será alterado. Por consiguiente, se considera entonces comprobada la Propiedad Conmutativa en esta operación:

A∆B = B∆A
{Manzana, Melocotón, Ananá, Sandía, Níspero, Naranja} = {Ananá, Sandía, Níspero, Naranja, Manzana, Melocotón}

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