Propiedades de la Intersección entre conjuntos

Antes de avanzar sobre cada una de las propiedades que pueden distinguirse en la operación de Intersección entre conjuntos, tal vez sea necesario revisar algunas definiciones, esenciales para entender esta operación en su contexto adecuado.

Definiciones fundamentales

En este sentido, será necesario entonces comenzar por la propia definición de Conjunto, a fin de tener clara la naturaleza del objeto en base al cual se da esta operación. Así mismo, se deberá aborda la definición de Intersección de conjuntos, de manera de también poder tener presente el concepto de la operación sobre las cuales tienen lugar estas propiedades:

Conjunto

Con respecto al Conjunto, se puede comenzar por decir que la Matemática lo define como una colección abstracta o un objeto, definido y constituido –de forma única y exclusiva- por un listado de elementos, entre los cuales existe un rasgo en común, es decir que todos pueden dar respuesta al criterio de agrupación en base al cual se va creando el Conjunto. Así mismo, esta disciplina ha indicado que la notación del Conjunto debe responder a tres nociones específicas: el conjunto será bautizado con el nombre de una letra mayúscula; los elementos se separarán con comas y deberán ser presentados como un listado; igualmente, los elementos deben ir contenidos entre signos de llaves: { }.

Intersección de Conjuntos

Por su parte, la Intersección de Conjuntos puede ser vista como una operación básica del Álgebra de Conjuntos, la cual tiene lugar cuando surge –como su nombre lo indica- una intersección entre dos conjuntos, dando como resultado un tercer conjunto en donde pueden contarse los elementos comunes a ambos conjuntos. La notación de esta operación vendría dada por el símbolo ∩, respondiendo igualmente a una expresión del tipo (A ∩ B=).

Propiedades de la Intersección de Conjuntos

Teniendo presentes estas definiciones será mucho más sencillo entender entonces la terminología y distintas operaciones relacionadas con las propiedades que pueden observarse en la Intersección de conjuntos, y que pueden definirse a su vez de la siguiente manera:

Propiedad de la Idempotencia

En primer lugar, se puede hablar de la Propiedad de la Idempotencia, la cual dicta que todo conjunto que establezca una operación de Intersección consigo mismo, dará como resultado el propio conjunto. Es decir, que cuando un determinado conjunto A establece una interacción con el mismo conjunto A, la coincidencia entre sus elementos será plena, dando como resultado el propio conjunto A. Esta propiedad cuenta con la siguiente expresión matemática:

A ∩ A= A

Propiedad sobre los subconjuntos en la Intersección

Así mismo, existe otra propiedad que dicta que cuando un conjunto A y un conjunto B establecen una operación de Intersección entre ellos, el conjunto originado en base a esta operación puede ser considerado un subconjunto de ambos, puesto que al conformarse en base a elementos comunes entre estos conjuntos, se puede concluir entonces que cada uno de los conjuntos contiene al conjunto creado. La expresión matemática de esta propiedad responde a la siguiente forma:

A ∩ B ⊆ A,B

Propiedad sobre la Intersección con un subconjunto de A

Por otro lado, también puede suceder que un conjunto A establezca una operación de Interacción con un conjunto B que -además de tener elementos comunes con A- pueda ser  considerado como un subconjunto de ella, al estar conformado por un total de conjuntos que se encuentran de forma plena en él. De esta manera, según esta propiedad, al establecer una operación de Interacción, el conjunto B quedará inalterado, pues el resultado de esta operación será el propio conjunto B, situación que podría plantearse matemáticamente de la siguiente manera:

A ⊆ B → A ∩ B= B

 Propiedad Conmutativa

Al igual que sucede en operaciones numéricas, en la operación de Intersección también puede hablarse de la Propiedad Conmutativa, la cual dictará que no importa el orden en que son presentados los conjuntos entre los cuales se establece la intersección, puesto que este orden no altera para nada el conjunto que se genera en base a los elementos comunes entre ambos conjuntos. Esta propiedad también cuenta con su expresión matemática:

A ∩ B = B ∩ C

Propiedad asociativa

En el caso de la Intersección de conjuntos también se puede hablar de la Propiedad asociativa, la cual tiene lugar cuando se quiere plantear esta operación entre tres o más conjuntos. En consecuencia, la Propiedad Asociativa dictará expresamente que no importa el orden en que se establezcan las distintas asociaciones entre conjuntos, pues siempre dará como resultado final el mismo conjunto. Con respecto a su expresión matemática, esta puede corresponder a la forma:

(A ∩ B) ∩ C =  A ∩ (B ∩ C)

Propiedad del Elemento absorbente

De igual forma, el Álgebra de Conjuntos indica que en la operación de Intersección de conjuntos puede hablarse igualmente la propiedad del Elemento absorbente, el cual será asumido por el Conjunto vacío, dictando entonces que todo conjunto que establezca una operación de Intersección con el Conjunto vacío, por medio de esta propiedad, dará como resultado el Conjunto vacío, puesto que al no existir ningún tipo de coincidencia, el conjunto que se origina no cuenta con elementos dentro de él, por ende es el Conjunto vacío. Esta situación puede tomar la siguiente forma matemática:

A ∩ ∅ = ∅

Propiedad distributiva

Finalmente, se puede hablar también de la propiedad distributiva en la operación de Intersección, sólo que esta se produce respecto a la operación de la Unión, dictando que la intersección de un conjunto A con la unión de un conjunto B y un conjunto C resulta equivalente a la unión de las respectivas interacciones del conjunto A con B y con C. Esta propiedad puede ser planteada matemáticamente de la siguiente forma:

A ∩ (B ∪ C) =  (A ∩ B) U (A ∩ C)

De esta situación, se puede concluir también que la intersección de A con la unión de esta conjunto con un conjunto B da como resultado el propio conjunto A. Igualmente, en sentido inverso, se puede hablar también de una Propiedad Distributiva de la Unión respecto a la Intersección, en la cual se indica que la unión del conjunto A con la intersección entre el conjunto B y el conjunto C resulta equivalente a la intersección de las respectivas uniones del conjunto A con los conjuntos B y C:

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

Imagen: pixabay.com

Propiedades de la Intersección entre conjuntos
Source: Matemáticas  
junio 24, 2017
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