Propiedades de la multiplicación en el Álgebra Elemental

Definición de Álgebra

Por consiguiente, es pertinente entonces recordar que las distintas fuentes teóricas coinciden en señalar al Álgebra como una de las cuatro principales Ramas de las Matemáticas, así como a la disciplina que se enfoca en el estudio de los elementos abstractos, tanto numéricos como no numéricos, a fin de entender sus naturalezas y relaciones, buscando con esto obtener un conocimiento tan generalizado que pueda ser entendido y asumido por otras ramas de las matemáticas.

Definición del Álgebra Elemental

Así mismo, las fuentes teóricas señalan que dentro del Álgebra se pueden identificar dos sub-ramas, las cuales se diferencian básicamente por el enfoque o materias de estudio que las ocupa. En este sentido, por un lado, se puede señalar al Álgebra Abstracta, la cual se encarga del estudio de las estructuras algebraicas. Por el otro, se distingue entonces el Álgebra Elemental, disciplina que es definida como la sub-área del Álgebra, que se enfocaría en el estudio de los elementos abstractos, tanto numéricos (números) como no numéricos (literales o letras que constituyen variables o indeterminadas, y que pueden ser definidas como símbolos literales en representación de números, conocidos o por conocer) a fin de comprender la naturaleza y relaciones existentes entre ellos, buscando con esto poder entender finalmente las distintas propiedades que pueden encontrarse dentro del sistema de los números reales.

Propiedades de la multiplicación en el Álgebra Elemental

Estrechamente ligada a la Aritmética, en el Álgebra Elemental se pueden distinguir operaciones matemáticas como la multiplicación, la cual es definida a su vez como el procedimiento por el cual un elemento abstracto es instado a sumarse por sí mismo el número de veces que indica un segundo elemento abstracto. No obstante, la definición de la multiplicación, dentro del Álgebra Elemental no se limita a este concepto, pues la misma implica una serie de Leyes y propiedades, que pueden ser resumidas en los siguientes ítems:

En cuanto a su forma de expresión

•  A diferencia de la suma o la resta, y un poco más parecida en este rasgo a la división, la multiplicación contará con dos signos que servirán para expresarla, y cuyo uso dependerá básicamente del uso o de la tradición que siga el individuo que lo emplee. De esta manera, según el Álgebra Elemental, se acepta para señalar o entablar un signo de multiplicación, tanto el signo por constituido por el símbolo (x) como el uso de un punto (.) con igual sentido.

• En cuanto a la forma adecuada de expresar una operación de multiplicación, en el Álgebra Elemental, las distintas fuentes indican que bastará con tener dos o más elementos o términos algebraicos relacionados a través de uno de los signos que son usados para expresar multiplicación, tal como se muestra a continuación:

a x b =
a . b =

Sobre la ausencia del signo matemático

No obstante, el Álgebra Elemental también indica que a pesar de que el signo inherente a la multiplicación es el por (x) ó (.) la multiplicación cuenta con la propiedad de poder expresarse también a través de la yuxtaposición de los términos algebraicos involucrados en la operación, es decir, que puede prescindir de este signo, siendo entendido como tácito en el momento de que un elemento se encuentra frente a otro sin que entre ellos exista un signo matemático. De esta forma, se tiene entonces:

a x b = ab

Sobre su Ley conmutativa

Así mismo, el Álgebra Elemental señala que dentro de las distintas propiedades que afectan a la operación de multiplicación, se distingue entonces la Ley Conmutativa, la cual indica directamente que independientemente de cómo sean presentados o dispuestos los elementos o términos involucrados en la multiplicación, este orden no alterará en ningún momento el producto. En términos matemáticos, esta Ley podría expresarse de la siguiente manera:

a x b = b x a

Sobre su propiedad asociativa

Igualmente, el Álgebra Elemental indica que toda operación de multiplicación cuenta con la Propiedad Asociativa, la cual está presente cuando dentro del procedimiento matemático pueden encontrarse tres o más elementos, los cuales pueden agruparse de distintas formas, estableciendo diferentes órdenes para la realización de las operaciones, sin que esto implique un cambio en el lugar que ocupan sus elementos, puesto que las distintas asociaciones se van dando a través de signos de agrupación, como los paréntesis. Esta propiedad de la multiplicación puede ser expresada así:

(a . b) . c = a . (b . c)

Sobre la Propiedad Distributiva para la adicción

Otra de las propiedades inherentes a la multiplicación es aquella que determina la Propiedad Distributiva para la Adicción, Ley esta que indica que el producto de un elemento o término y la suma de dos elementos es igual a la suma de los productos del primer elemento por cada uno de los términos implicados en dicha suma. Es decir:

a . (b + c) = (a . b) + (a . c)

Sobre su operación adversa

Por otro lado, dentro de las distintas propiedades inherentes a la multiplicación, según el Álgebra Elemental, se distingue la de contar con una operación inversa, la cual recibe el nombre de división, y que básicamente plantea el procedimiento en donde un elemento es multiplicado por el recíproco de otro (es decir un número denotado como 1/x) operación que puede ser expresada de la siguiente manera:

 Sobre su elemento neutral

Finalmente, indica el Álgebra Elemental, la multiplicación cuenta también con un elemento neutro, el cual independientemente del lugar en donde aparezca en medio de una operación de multiplicación no alterará en ningún caso el producto. En el caso de la multiplicación, este elemento del Álgebra Elemental es identificado como el número uno (1). En cuanto a la expresión de esta propiedad, el Álgebra Elemental también indica que puede ser entendida como se muestra seguidamente:

a . 1 = a
a . b . 1 = a . b

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