Propiedades de las operaciones en el Álgebra Elemental

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Una buena forma de abordar y procurar la correcta explicación de las distintas propiedades inherentes a las operaciones dentro del Álgebra Elemental es la de iniciar dicha exposición con la breve revista al concepto mismo de Álgebra, entre otras categorías esenciales para acercarse a estudiar las leyes que rigen las distintas operaciones propias de esta disciplina.

Definición de Álgebra

De esta manera, se puede comenzar entonces por recordar la definición de Álgebra, la cual es concebida por la mayoría de las fuentes teóricas como una de las grandes Ramas de las matemáticas, así como la disciplina que se encarga del estudio de las estructuras algebraicas y de los elementos abstractos, tanto numéricos como no-numéricos, los cuales aborda con la intención de lograr un conocimiento sobre la naturaleza, relación y estructura de estas entidad lo suficientemente generalizado, que pueda ser homologado y compartido con otras disciplinas matemáticas.

Definición Álgebra Elemental

Así mismo, las fuentes teóricas coinciden en indicar que el Álgebra debe ser definida señalando las dos sub-ramas que la constituyen, las cuales a su vez se diferencias básicamente por sus objetos de estudio. Entre ellas, se puede distinguir entonces entre el Álgebra Abstracta, la cual comprende el abordaje de las estructuras algebraicas, así como de las entidades abstractas no numéricas. Por su parte, el Álgebra Elemental sería entonces la materia del Álgebra que se encarga de estudiar los elementos abstractos numéricos (números) y aquellos no numéricos (constituidos por letras que se usan en representación de números por conocer o desconocidos, llamados variables o incógnitas).

Propiedades de las operaciones en el Álgebra Elemental

No obstante, este estudio sobre la naturaleza y las relaciones que pueden existir entre los elementos abstractos numéricos y no numéricos sitúa a su vez al Álgebra Elemental como una disciplina estrechamente relacionada con la Aritmética, lo que también hace que dentro de ella se puedan distinguir ciertas propiedades sobre los elementos y las operaciones que se realizan entre ellos, y entre las cuales se encuentran las siguientes:

Propiedades de la adicción en el Álgebra Elemental

En primer lugar, se encuentran aquellas relacionadas con la operación de la adicción, la cual puede ser definida como el procedimiento matemático en donde a un elemento o cantidad dada se le añade otra más, indicada por un segundo elemento, y que según el Álgebra Elemental respondería a las siguientes propiedades:

  • Se expresa a través del signo más (+) dispuesto entre dos elementos: a + b =
  • Es conmutativa, es decir, que su resultado no se ve alterado por el orden de los factores: a + b = b + a
  • Igualmente, la adicción contemplada dentro del Álgebra Elemental responde a la propiedad asociativa, es decir, que el orden en que se realizan las operaciones no altera tampoco el resultado: a + (b+c) = (a+b)+c
  • Cuenta con una operación inversa, llamada resta o sustracción, y que puede ser entendida también como la suma de un elemento positivo y uno negativo: a + (-b)= a-b
  • Su elemento neutral es el cero (0) el cual tiene la propiedad de no alterar jamás el resultado al incorporarse en una adicción.

Propiedades de la multiplicación en el Álgebra Elemental

Por su parte, dentro de las distintas operaciones que pueden contemplarse dentro del Álgebra Elemental se puede encontrar también la multiplicación, definida como el procedimiento matemático por medio del cual un elemento es instado a sumarse a sí mismo el número de veces que indica un segundo elemento. Igualmente, el Álgebra Elemental señala dentro de la definición de multiplicación que esta operación responde a las siguientes propiedades:

  • Puede ser expresada a través de un signo por (x) –aunque también se acepta el uso del signo (.)- en medio de dos elementos: (a x b) así también como (a.b)
  • La multiplicación responde a la propiedad conmutativa, es decir, que no importa el orden de los factores, no se alterará el producto: a . b = b . a
  • Así mismo, la multiplicación cuenta con la propiedad asociativa, por lo que distintos órdenes de operación no alterará tampoco el producto: (a . b) . c = a . (b . c)
  • Igualmente es la única operación que puede prescindir de su signo, puesto que al haber una yuxtaposición de términos se infiere que es una multiplicación: a . b = ab
  • Su operación inversa es la multiplicación, la cual puede ser entendida igualmente como la multiplicación de una número o elemento por el inverso (1/x) de otro: a . (1/b)
  • Su elemento neutro es el número uno (1) pues su aparición no altera el producto.
  • Así mismo, la multiplicación responde a la propiedad distributiva para la adicción puesto que el producto de un elemento por la suma de otros dos será igual a la suma de los productos de ese primer elemento por cada uno de los otros dos: a . (b + c) = (a . b) + (a . c)

Propiedades de la potenciación en el Álgebra elemental

Finalmente, dentro de las operaciones contemplada por el Álgebra Elemental se encuentra la potenciación, la cual es definida como el procedimiento en donde un elemento o número, conocido como base, es instado a multiplicarse a sí mismo, la cantidad de veces que señale un segundo elemento, conocido como exponente. Por otro lado, la potenciación –según señala el Álgebra Elemental- cuenta también con las siguientes propiedades:

  • Es expresada a través de un elemento (a) que sirve de base, y un elemento (b) que será anotado siempre como superíndice: ab
  • No es conmutativa, pues la inversión de sus términos sí alteraría el resultado de la potencia: ab ≠ ba
  • Igualmente, la potenciación no responde a la propiedad asociativa, pues no se puede alterar el orden de las operaciones sin alterar el resultado.
  • Su operación inversa es el Logaritmo, por medio del cual en lugar de elevar un número a su exponente, se busca saber cuál es la potencia que originó determinado elemento.
  • A su vez, la potenciación responde a la propiedad distributiva, puesto que cuando dos elementos de una multiplicación se elevan a un exponente el resultado es igual a la multiplicación de cada uno de esos elementos elevados al mismo exponente: (a . b)c = ac . bc
  • Por otro lado, en cao de contar con potencias de igual base, independientemente de sus exponentes, el resultado será igual a si se adopta una sola base y se procede a la suma de dichos exponentes: ab . ac = ab+c
  • Si una potencia es elevada a su vez a otro exponente, el resultado será igual que a la base elevada al producto de los exponentes: (ab)c = abc

Imagen: flickr.com

Propiedades de las operaciones en el Álgebra Elemental

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