Definiciones fundamentales

En este sentido, puede que sea necesario delimitar esta revisión teórica a cinco nociones específicas: la primera de ella, la noción de Geometría, pues esto permitirá entender la naturaleza de la disciplina en la cual surge el concepto del Área del triángulo, así como el procedimiento adecuado para determinarla. Por otro lado, también será de provecho revisar cuáles son los conceptos de Polígono, Triángulo, Altura del triángulo y Área, por encontrarse directamente relacionados con la medida del Área del Triángulo. A continuación, cada uno de estos conceptos:

Geometría

De esta manera, se comenzará por decir que la Geometría ha sido definida de forma general como una de las principales disciplinas matemáticas, así como la materia que tiene como objeto de estudio las diversas formas y figuras, tanto en su forma como en sus distintas propiedades (área, longitud, altura, etc.). Por igual, existen autores que señalan la Geometría como la Ciencia de las medidas.

Con respecto a su origen histórico, la mayoría de los autores coinciden en señalar que la Geometría puede ser concebida como una de las disciplinas más antiguas en el seno de las Matemáticas. En tal sentido, quienes se inclinan por esta teoría, afirman que así como el concepto de Número natural pudo haber surgido de los intentos de los primeros hombres por contabilizar y administrar sus recursos, la Geometría pudo nacer de las actividades realizadas por estos hombres primitivos, en pro de medir, entender, manipular o replicar las distintas formas de su entorno, a fin de hacerse con herramientas y espacios cada vez más eficientes, elementos estos que se traducirían en mayores posibilidades de sobrevivencia.

Polígonos

En segunda instancia, será necesario revisar también el concepto de Polígonos, los cuales han sido descritos como una figura geométrica plana o bidimensional, es decir, que cuenta tan solo con dos dimensiones: alto y ancho, sin que en ellas pueda verse la tercera dimensión: la de la profundidad.

Por otro lado, la Geometría también describe a los Polígonos como figuras geométricas totalmente cerradas, encontrándose entonces delimitada por un conjunto de segmentos de recta, que además de constituir la propia figura geométrica, le dan otra de sus características fundamentales al polígono: el contar con todos sus lados rectos. Además, la Geometría ha señalado que los Polígonos contarán con cuatro distintos elementos, cada uno de los cuales han sido descritos de la siguiente manera:

• Lados: en primer lugar, se encontrarán los lados, los cuales además de constituir y delimitar esta figura geométrica, terminan incluso por darle su nombre, ya que, los Polígonos reciben sus nombres según el número de lados con los que cuenta.
• Vértices: siendo una figura cerrada, los lados que conforman el Polígono terminan por cerrarse o encontrarse en puntos determinados, los cuales reciben el nombre de Vértice.
• Ángulos: sin embargo, cuando dos lados del polígono se encuentran, no sólo crean un vértice, sino que también comienzan a delimitar un espacio geométrico específico, el cual se denominará ángulo del polígono, y que contará con tres elementos: dos lados, conformados por los segmentos de recta que se unen; un vértice, que coincide plenamente con el vértice del polígono; y una amplitud, medida en grados sexagesimales.
• Diagonales: finalmente, dentro de los Polígonos también se podrán incluir las diagonales, las cuales son vistas como segmentos de recta, que se disponen entre dos vértices, que deben cumplir con la obligación de no encontrarse ubicados de forma contigua.

Triángulos

Así también, será menester enfocarse en la definición de Triángulos, los cuales han de ser explicados como aquellos polígonos, es decir, figuras geométricas planas y cerradas, que se encuentran totalmente delimitadas por tres segmentos de recta. Ergo, los Triángulos son polígonos de tres lados.

No obstante, los Triángulos también se distinguirán –polígono al fin- por contar con cuatro elementos, cada uno de los cuales ha sido explicado de la siguiente manera:

• Tres lados: tal como señala su definición, los Triángulos contarán con tres lados. No obstante, la diferencia o igualdad entre las diferentes medidas de cada uno de ellos constituirán un criterio clasificatorio, que permitirá ordenar los Triángulos en Triángulos escalenos, equiláteros e isósceles.
• Tres vértices: siendo una figura cerrada, los tres lados del triángulo coincidirán entre sí, en algunos puntos, que se denominarán vértice.
• Tras ángulos: así mismo, en los Triángulos se encontrarán tres ángulos, uno por cada vértice. Estos ángulos contarán también con tres elementos: dos lados, un vértice y una amplitud, la cual será el criterio que se utilice de base para ordenar los triángulos también en Triángulos rectángulos, acutángulos y obtusángulos.
• Sin diagonales: por último, en los Triángulos no podrán encontrarse diagonales. Esto se debe específicamente a que en este tipo de figuras geométricas todos los vértices se encuentran ubicados de manera contigua. Por ende, los Triángulos son polígonos –de hecho el único que tiene esta característica- sin diagonales.

Altura del Triángulo

En cuanto a la Altura del triángulo, esta puede ser descrita igualmente como una de las rectas fundamentales de este tipo de polígono. No obstante, pueden encontrarse en forma de Recta o de segmento. Sin embargo, como el tema que atañe este artículo es el Área del Triángulo, se reparará en la definición de la Altura del Triángulo como segmento, por ser este tipo de altura la que se toma en cuenta para calcular esta medida.

Por consiguiente, la Altura del Triángulo en segmentos puede ser descrito entonces como los distintos segmentos de recta que nacen desde el vértice del triángulo, para insertarse de forma perpendicular en el lado opuesto al vértice, o a la prolongación de este lado. La medida de este segmento, se considerará la altura del triángulo.

Área del polígono

Por último, también será necesario revisar el concepto a Área del polígono, el cual ha sido explicado como una medida geométrica, que refiere específicamente a la extensión que puede tener una superficie específica. Al ser entonces un concepto métrico, el Área de un polígono deberá ser expresada siempre en unidades de superficie.

Área del Triángulo

Una vez se han explicado cada uno de estos conceptos, puede que ciertamente sea mucho más sencillo abordar una explicación sobre el Área del Triángulo, la cual entonces puede ser entendida como una medida geométrica, referente a la extensión que puede presentar un triángulo en un espacio determinado, es decir, cuál es la medida de su superficie.

Para poder determinar dicha medida, la Geometría dice que deben tomarse en cuenta dos elementos del Triángulo: en primer lugar, la medida correspondiente a la base del triángulo, la cual será expresada en una unidad de medida, la base será representada siempre con la b minúscula; en segunda instancia, deberá tomarse también en cuenta la altura del triángulo en segmento, específicamente la que nace del vértice contrario u opuesto a la base, insertándose entonces perpendicularmente en este lado del triángulo. La altura será siempre referida con una h minúscula. Por su lado, el Área será representada en todo momento con una A mayúscula.

Estas medidas, que deberán tener la misma unidad de medida, deberán multiplicarse, y luego dividirse entre dos, para dar como resultado el Área del Triángulo. Por consiguiente, el Área del Triángulo será la medida que se obtiene al multiplicar la altura del triángulo por su base, dividiéndolo en dos. Este cálculo puede ser expresado en la siguiente fórmula geométrica:

Ejemplo de cómo calcular el Área de un triángulo

Sin embargo, puede que la forma más eficiente de completar una explicación sobre la manera de determinar cuál es el Área de un triángulo, sea a través de la exposición de un ejemplo concreto, que permita ver tanto cómo puede plantearse un ejercicio de este tipo, como también la forma de resolver dicho procedimiento geométrico, tal como se ve a continuación:

Dado un triángulo equilátero, donde uno de sus lados cuenta con la medida de 6 cm, determinar cuál es su área.

Al revisar este ejercicio, se tiene que el único dato proporcionado es que el Triángulo tiene un lado equivalente a 6 cm. Sin embargo, también se dice que el Triángulo es equilátero, por lo que entonces sus tres lados son iguales, es decir, todos miden 6 cm. Por ende, esta será la medida de la base.

No obstante, para calcular el Área del Triángulo, se necesitará también la Altura del Triángulo, la cual se desconoce. Sin embargo, por medio del Teorema de Pitágoras puede determinarse, puesto que una vez que se traza la Altura del triángulo, desde el vértice opuesto a la base, hasta que se inserta perpendicularmente en ella, se divide el triángulo equilátero en dos triángulos rectángulos, siendo la Altura uno de los dos catetos de esta nueva figura. En este caso, se tendría lo siguiente:

a² = b² + c²

Teniendo esta fórmula, se hace deberá sustituir cada una de las variables, teniendo entonces que así como la Altura referirá al cateto b; la hipotenusa será el lado opuesto a este, representado por b, y el cual en este caso medirá 6 cm; mientras que c referirá al otro cateto, que al ser dividido en 2, ya no medirá 6 cm sino 3 cm.Aclarado esto, se procede a despejar la siguiente fórmula:

Por ende, se tiene que la altura de este triángulo equilátero es igual a 5. Obtenido este dato, se puede entonces proceder a calcular la Altura, puesto que se tiene la siguiente información del Triángulo equilátero:

b= 6 cm
h = 5 cm

Por ende, se pueden sustituir las variables de la fórmula geométrica para el área del Triángulo:

Finalmente, se obtiene el resultado, y se puede decir entonces que este triángulo equilátero, cuya base mide 6 cm, y presenta una altura equivalente a 5 cm, tiene a su vez un área de 15 cm, lo cual se expresará de la siguiente manera:

A = 15 cm

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