Conjunto Potencia

De esta manera, se puede comenzar por decir que el Álgebra de Conjuntos ha definido al Conjunto Potencia como aquella colección abstracta, conformada por la totalidad de subconjuntos que pueden determinarse en un conjunto dado, incluyendo el Conjunto Vacío. Por lo general, este tipo de conjunto suele señalarse colocando una P al lado del nombre del conjunto, el cual deberá ir por su parte dentro de paréntesis, como por ejemplo: P(A), forma que se leería a su vez como Conjunto Potencia de A.

Ejemplo de Conjunto Potencia

No obstante, quizás la mejor forma de aproximarse a la noción de Conjunto Potencia sea a través de la exposición de un ejemplo concreto, que permita mostrar la manera en que se conforma dicho conjunto, tal como se muestra a continuación:

Dado un conjunto A= {1, 2, 3} determinar su Conjunto Potencia.

Para esto, será necesario entonces elaborar un conjunto con todos los posibles subconjuntos que se puedan encontrar contenidos en A:

A= {1, 2, 3}

P(A)= {∅}, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}}

Si se quisiera comprobar si realmente el Conjunto Potencia cuenta con la cantidad de subconjuntos existentes en A, se debería entonces calcular el Cardinal del Conjunto Potencia, para los cual se resolverá una potencia de base dos, en donde el exponente será el número de elementos que contiene A:

│P(A)│= 2³

│P(A)│= 8

Al contar el total de elementos que tiene el Conjunto Potencia, se encuentra que este es igual a 8, número que resulta equivalente con el cardinal calculado, por lo que se puede concluir entonces que ciertamente el Conjunto Potencia de A debe tener 8 elementos.

Método binario para determinar Conjunto Potencia

Por otro lado, aun cuando exista un método concreto para comprobar cuántos elementos debe tener el Conjunto Potencia, o lo que es igual, cuántos subconjuntos tiene el conjunto dado, casi siempre hay dudas sobre cuáles son esos subconjuntos o elementos del Conjunto Potencia, es decir, cómo se establecen los pares y demás elementos. Una buena opción, además de práctica, es calcular los subconjuntos a través del método binario.  Para esto, se deberá establecer una sucesión de ceros, según los números de elementos que se encuentren en el conjunto dado, luego el número uno deberá ir tomando posiciones, según cada una de ellas, se asumirá que debe colocarse el elemento correspondiente con la posición. Empero, puede que este método necesite una explicación más práctica, a través de un ejemplo concreto, como el que se expone a continuación:

Dado un conjunto B= {a, b, c, d} determinar su Conjunto Potencia, usando para ello el método binario.

Para cumplir con el postulado de este ejercicio, se necesitará entonces comenzar a hacer una tabla, en donde se pueda ver cada uno de los subconjuntos que se irán formando, de acuerdo a la posición del 1 en la sucesión de ceros, correspondiente con los cuatro elementos que presenta el conjunto dado:

Hecho esto, se puede comenzar entonces a ordenar estos elementos, de acuerdo al orden lógico que se establece en relación al conjunto dado:

P(B)= { ∅, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a, b, c}}

Al hacerlo, también se puede comprobar si en efecto se han obtenido un Conjunto Potencia que incluya todos los subconjuntos de A, para lo que será necesario entonces aplicar la operación del cardinal del Conjunto Potencia:

│P(B)│= 2³

│P(B)│= 8

En los dos casos, es decir, tanto en el cardinal del P, como en el conteo de los elementos obtenidos, el resultado es equivalente a 8, por lo que se puede considerar entonces como correcto.

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