Una de las operaciones algebraicas a las que puede ser sometidos los polinomios es la multiplicación, la cual puede ser definida como el producto posible entre un polinomio y algunas otras expresiones, como por ejemplo los términos independientes, los binomios, o incluso por otro polinomio.
Definiciones fundamentales
Sin embargo, antes de avanzar sobre los distintos casos que pueden servir de ejemplo a la multiplicación de polinomios por términos independientes, resulta conveniente revisar algunas definiciones imprescindibles para entender la naturaleza de las expresiones en juego, así como de cada uno de sus elementos. A continuación, algunas de ellas:
Polinomio
En este sentido, el primer concepto que puede ser abordado es el del propio polinomio, concebido por el Álgebra elemental como una expresión compleja, constituida por un conjunto finito de monomios, entre los que se establecen diferentes operaciones, siendo por lo general lo de la adicción, y en menor grado de resta y multiplicación, quedando exenta la de división, la cual no será permitida entre los términos del polinomio. Así mismo, el Álgebra elemental señala también que el polinomio es una expresión en donde pueden distinguirse cuatro elementos esenciales, los cuales pueden ser descritos de la siguiente manera:
- Términos: con este nombre se clasificarán cada uno de los elementos o sumandos que conforman el polinomio, por lo tanto esta categoría arropará tanto a los monomios como a los términos independientes que puedan verse en el polinomio.
- Coeficientes: así mismo, los coeficientes estarán conformados por todos los elementos numéricos que se encuentren en compañía de las variables, indicando cuál es la cantidad por la que se multiplicará la variable, en caso de que esta asuma un valor numérico.
- Términos independientes: por su parte, los términos independientes serán aquellos elementos numéricos que no se encuentran en compañía de ninguna variable.
- Grado: por último, el Grado del polinomio estará determinado por el grado de máximo valor que puede encontrarse en algunos de los términos que pueden encontrarse en el polinomio.
Ordenamiento del polinomio
Por otro lado, entre otras de las operaciones algebraicas que pueden distinguirse, se encuentra también el Ordenamiento del polinomio, la cual consiste en identificar el grado del polinomio, para después realizar una disposición de los términos según el valor de su grado, pudiendo optar por dos órdenes: desde el mayor hasta el menor (Orden Descendente) y de menor a mayor (Orden Ascendente). Por lo general, esta operación se hace de forma previa a algunas como la suma, resta, multiplicación o división de polinomios, a fin de que las expresiones que constituyen estas operaciones cuenten con sus términos semejantes en igual posición.
Multiplicación de un polinomio por un término independiente
Una de las operaciones que pueden encontrarse en cuanto a la multiplicación en donde se encuentran involucrados los polinomios, puede ser aquella que establece el producto entre un término independiente (considerado también como un elemento numérico sin presencia de variables) por un polinomio. Por regla general, el Álgebra elemental señala que el procedimiento que debe seguirse será multiplicar dicho número por cada uno de los coeficientes de los términos del polinomio, a fin de obtener el resultado del producto.
Ejemplos
Sin embargo, la mejor forma de poder entender estas definiciones será a través de algunos ejemplos, en donde pueda verse la puesta en práctica de lo que dicta la teoría. A continuación, algunas de ellas:
Resolver la siguiente multiplicación 4 . (4x – 3 + 6x3 – 3x4) =
En este sentido, resulta conveniente procurar en primera instancia el orden del polinomio, a fin de lograr una mejor disposición de los monomios y términos independientes que constituyan el polinomio:
4x – 3 + 6x3 – 3x4 = – 3x4 + 6x3+ 4x– 3
Luego de eso, se multiplicará cada uno de los coeficientes por el término independiente con el que se plantea la operación, tomando en cuenta la Ley de signos, para cada caso:
4 . – 3x4 + 6x3+ 4x– 3= -12x4 + 24x3 + 16x – 12
El resultado final de esta multiplicación será entonces
-12x4 + 24x3 + 16x – 12
Resolver la siguiente multiplicación 5 . (8x4y3 – 4 + 4x2y – x3y2)
Al tratarse de un polinomio de más de una variable, para poder organizarlo será necesario escoger una letra ordenatriz. En este caso, se escogerá la variable y para ordenar de forma descendente el polinomio:
8x4y3 – 4 + 4x2y – x3y2 → 8x4y3– x3y2+ 4x2y – 4
Hecho esto, se procederá a multiplicar entonces los coeficientes de cada uno de los polinomios por el término independiente, siguiendo en todo momento la Ley de signos:
5 . (8x4y3– x3y2+ 4x2y – 4) = 40x4y3 – 5x3y2 + 20x2y – 20
Resolver la operación -3 . (4x2y3z2 – xyz3 + 5 – 2xy2z3 – 4y4)
Por consiguiente, al ser un polinomio de más de una variable, se deberá organizar el polinomio, tomando como guía a la letra ordenatriz la letra y:
4x2y3z2 – xyz3 + 5 – 2xy2z3 – 4y4 → – 4y4+ 4x2y3z2 – 2xy2z3 – xyz3 + 5
Así mismo, se procederá a la multiplicación de cada coeficiente por el término independiente, tomando en cuenta que éste es negativo, por lo que se debe seguir con atención a la Ley de signos en cada caso:
-3 . (– 4y4+ 4x2y3z2 – 2xy2z3 – xyz3 + 5)= 12y4 – 12 x2y3z2 + 6 xy2z3 + 3xyz3 – 15
El resultado final será entonces: 12y4 – 12 x2y3z2 + 6 xy2z3 + 3xyz3 – 15
Otros ejemplos de la multiplicación de polinomios por términos independientes pueden ser los siguientes:
2 . (5x2 – x + 4) = 10x2 – 2x + 8
6 . (5x4 – 6x3 – 2x2y + 4 – 3)= 30x4 – 36x3 – 12x2y + 24 – 18
-2 . (3 – 4 + 2x2 – 5x4 + x3) → -2 . (– 5x4 + x3+ 2x2+ 3 – 4) = 10x4 -2x3 -4x2 – 6 + 8
5 . (x3 – 5)= 5x3 – 25
7 . (x4 – x3 + 8) = 7x4 – 7x3 + 56
-3 . (5x2 – 3 + xyz3 – 4) → -3 . (5x2 + xyz3 – 3– 4)= -15x2 -3xy3 + 9 + 12
4 (xyz4 – 2z3 +4xyz2 – z + 2)= 4xyz4 – 8z3 +16xyz2 – 4z + 8
2 . (x-3) = 2x – 6
-5 . (2x6 – 3x2 + 2)= -10x6 + 15x2 – 10
-4 . (2x2 – 2x + 3)= -8x2 + 8x – 12
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