Definición de polinomio

En este sentido, lo mejor será comenzar por el concepto mismo de polinomio, el cual es visto por esta disciplina matemática como una expresión algebraica compleja, constituida por un grupo de monomios, entre los cuales se establecen operaciones matemáticas, principalmente de adicción, aun cuando pueden encontrarse, en menor frecuencia, operaciones de resta y multiplicación, siendo entonces la división la única que queda exenta. Así mismo, las fuentes teóricas señalan que en el polinomio, además de los monomios que lo conforman, se pueden distinguir cuatro elementos fundamentales: Términos (nombre que reciben cada uno de los sumandos, es decir, tanto monomios como términos independientes); Términos independientes (aquellos términos que no cuentan con variables); Coeficientes (elementos numéricos que acompañan y multiplican la variable); y finalmente el Grado (constituido por el valor del máximo grado detectado en alguno de los monomios que constituyen la variable).

Orden de un polinomio

Por otro lado, dentro de lo que involucra la operación de ordenamiento de un polinomio, también existen algunas definiciones que es necesario revisar de forma breve, para una mejor comprensión de los ejemplos que se expongan al respecto. A continuación, algunas de ellas:

Polinomio ordenado

Es el nombre que recibe toda expresión algebraica de tipo polinómica que haya sido dispuesta de acuerdo a los respectivos valores de los grados de sus términos, bien si el orden ha sido ascendente (desde el menor grado hasta el mayor) o descendente (del mayor al menor grado). Por lo general, el polinomio es ordenado previamente a someterse junto con otros polinomios a operaciones de suma, resta, multiplicación o división, puesto que es la forma de organizar y equiparar las expresiones.

Polinomio de más de una variable

A pesar de que el concepto general de polinomio es el de suma finita de monomios, hay algunas características de la expresión que dan pie a que se pueda hablar de distintos tipos de polinomios. Una de las principales se enfoca en el número de variables que pueden contarse en cada uno de sus términos, dividiéndose entonces entre polinomios de una variable y de más de una variable. No obstante, las diferencias no llegan solamente a nombres o categorías distintas, sino que marcan distintas formas de realizar operaciones algebraicas con ellas. Un ejemplo de ello puede ser la operación de cómo determinar el grado del polinomio, pues mientras en el polinomio de una sola variable basta con identificar el valor del mayor exponente, en el de varias variables, deben sumarse los valores de los exponentes que conforman cada monomio para determinar el máximo grado absoluto.

Orden de un polinomio de una variable

Otra de las diferencias que puede existir entre los polinomios de una variable y de varias es la forma en que se realiza la operación de ordenamiento del polinomio, ya que en el polinomio de una variable basta con identificar el máximo grado al que se encuentra elevada, y a partir de ahí organizar el polinomio, mientras que en el caso de polinomios de más de una variable se debe escoger cuál será la variable guía, o letra ordenartriz, a fin de determinar el máximo grado con el que cuenta esta, y ordenar el polinomio en base a esta variable.

Ejemplos de cómo ordenar polinomios de más de una variable

Sin embargo, tal vez la forma más fácil de entender estas definiciones sea exponiéndolas en ejemplos concretos, a fin de poder ver cómo se colocan en práctica las normas y nociones que ha estipulado el Álgebra elemental. A continuación, algunos de ellos:

Dado el polinomio P_(x,y)= 5xy – 3x²y + 4 + 3x³y² ordenarlo de forma ascendente según la variable x

A fin de cumplir con la exigencia de este postulado, se deberá entonces entrar a determinar cuál es el máximo valor al que se encuentra elevada x, el cual resulta equivalente a 3. Así mismo, como el orden que debe seguirse es ascendente, se determinará cuál es el mínimo grado al que se encuentra elevada la variable, siendo esta igual a 1. Sin embargo, en este polinomio existe la presencia de un término independiente, el cual por no contar con una variable, tendrá un grado equivalente a cero, y se tomará en cuenta a la hora de ordenar el polinomio. Determinados los grados, se debe entonces disponer los términos según el orden ascendente que se solicita:

P_(x,y)= 5xy – 3x²y + 4 + 3x³y²  →  P_(x,y)=  4 + 5xy – 3x²y + 3x³y²   (orden ascendente)

Dado el polinomio P_(x,y,z)= 6x²yz + x² + 3y³z  ̶  5xy²z³ + y⁵ + 5 ordenarlo de forma descendente según cada una de sus variables.

También puede suceder que no todos los términos tengan más de una variable, pero si en todos puede verse más de un literal, entonces el polinomio se tomará como un polinomio de más de una variable. Por otra parte, en este caso se deberán determinar cuáles son los grados de mayor valor de cada una de las variables:

De la variable x →  2
De la variable y →  5
De la variable z →  3

El siguiente paso será entonces ordenar los términos según los grados de cada una de las variables, tomando en cuenta en todo momento el valor del grado cero al que corresponde el término independiente:

Según la variable x (orden descendente)
P_(x,y,z)= 6x²yz + x² + 3y³z  ̶  5xy²z³ + y⁵ + 5  →   P_(x,y,z)= 6x²yz + x² – 5xy²z³+ y⁵+ 3y³z+ 5

Según la variable y (orden descendente)
P_(x,y,z)= 6x²yz + x² + 3y³z  ̶  5xy²z³ + y⁵ + 5  →   P_(x,y,z)=  y⁵ + 3y³z  ̶  5xy²z³+ 6x²yz + x²+ 5

Según la variable z (orden descendente)
P_(x,y,z)= 6x²yz + x² + 3y³z  ̶  5xy²z³ + y⁵ + 5  →   P_(x,y,z)=  – 5xy²z³+ 3y³z  + 6x²yz + y⁵+ x² + 5

Otros ejemplos de ordenamiento de polinomios de más de una variable pueden ser los siguientes:

Dado el polinomio P_(a,b) =  5ab² + 3b³ + a²b + 4 ordenar de forma ascendente y descendente según la variable a.

P_(a,b) =  5ab² + 3b³ + a²b + 4 →  P_(a,b) =  4 + 5ab² + a²b + 3b³ (ascendente)
P_(a,b) =  5ab² + 3b³ + a²b + 4 →  P_(a,b) =  5ab² + a²b + 3b³ + 4  (descendente)

Dado el polinomio P_(xyz) = 3x²y²z² – xyz + 4x³ +yz³ + x⁵ – 5 ordenar de forma ascendente según la variable x.

P_(xyz) = 3x²y²z² – xyz + 4x³ +yz³ + x⁵ – 5 →  P_(xyz) =  – 5– xyz + 3x²y²z² + 4x³+ x⁵ +yz³

 

Dado el polinomio P_(x,y) =  2x² – 3y³ + 5xy + 8x³y + 5xy³  ̶  15 ordenar de forma ascendente según cada variable

P_(x,y) =  2x² – 3y³ + 5xy + 8x³y + 5xy³  ̶  15 →  P_(x,y) =  – 15 + 5xy +  5xy³ +  2x² + 8x³y – 3y³  (según x)

P_(x,y) =  2x² – 3y³ + 5xy + 8x³y + 5xy³  ̶  15 →  P_(x,y) =  – 15 + 5xy + 8x³y +  5xy³– 3y³  +  2x² (según y)

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