Definición de Polinomio

En consecuencia, el primer concepto que puede abordarse es el de Polinomio, el cual es visto por el Álgebra elemental como una expresión algebraica compleja, conformada por un conjunto finito de monomios, entre los que se establece generalmente la operación de suma, y en algunos casos menos frecuentes operaciones de resta y multiplicación. Así mismo, esta disciplina matemática ha señalado que el Polinomio es una expresión conformada por cuatro elementos, cada uno de los cuales cuenta con su definición y tarea específica, tal como se muestra a continuación:

• Términos: es el nombre que recibe cada uno de los sumandos del polinomio, es decir, tanto monomios como términos independientes.
• Términos independientes: por su parte, con esta denominación se conocen todos aquellos términos que no se encuentran acompañados de una variable.
• Coeficientes: así mismo, los coeficientes serán aquellos elementos numéricos que acompañan a la variable, y que se encarga de señalar la cantidad por la cual debe multiplicarse la variable, en caso de que esta asuma un valor numérico.
• Grado: finalmente, el Grado del polinomio se encuentra constituido por el valor del máximo exponente que puede verse en su variable (en el caso de polinomios de una variable) o del máximo grado absoluto que se determine en sus monomios (en cuanto a los polinomios de más de una variable). Igualmente, el Álgebra elemental señala que el Grado cumple la función de servir de elemento guía a la hora de clasificar monomios según su valor (polinomios de primer grado, polinomios de segundo grado, etc.); determinar si dos polinomios guardan relaciones de igualdad o diferencia; y sobre todo permitir un orden dentro de esta expresión algebraica.

Orden de un polinomio

Por consiguiente, el ordenamiento de un polinomio es considerado como la operación algebraica que se realiza con el fin de determinar el grado de una expresión algebraica o polinomio, procediendo a disponer los distintos términos que la componen en base a este elemento guía. De igual forma, esta disciplina matemática plantea que básicamente hay dos formas de ordenar un polinomio, tal como se muestra a continuación:

• Ascendente: cuando determinado el grado del polinomio, el grado se ordena disponiendo sus términos desde el monomio de menor grado hasta aquel identificado como el de mayor grado.
• Descendente: por el contrario el orden descendente sería la disposición que se hace de un polinomio, tomando como referencia el grado mayor, y luego los grados menores de éste.

Ejemplos de cómo ordenar un polinomio

No obstante, las diferencias al realizar el ordenamiento de un polinomio puede que no solo se reduzcan a si éste toma una disposición ascendente o descendente, sino que también pueden distinguirse dos formas distintas de proceder, según si el polinomio cuenta con una variable o con más de una. En este sentido, lo mejor será analizar cada caso por separado, tal como se puede ver seguidamente:

Orden en un polinomio de una variable

En este sentido, a la hora de ordenar polinomios de una variable, la operación consistirá en determinar el exponente de mayor valor que pueda verse en su variable, disponiendo entonces los términos en base a este elemento, y según el orden que se desee. Sin embargo, la mejor forma de visualizar esta operación algebraica será a través del ejemplo, a continuación algunos de ellos:

Dado el polinomio P_(x) = 5x² + 4x + x³ + x⁵ + 3 ordenar la expresión de forma ascendente

El primer paso para ordenar este polinomio de una sola variable, será determinar el grado de la expresión algebraica. En este caso, el exponente de mayor valor será el 5, por lo que el polinomio puede considerarse de quinto grado, o quíntico. No obstante, como el orden que se exige en el postulado es ascendente, es decir, de menor a mayor, se deberá determinar también cuál es el exponente de menor grado, el cual en este polinomio resulta equivalente a cero, puesto que el término independiente al no contar con una variable y requerirla le es atribuido este grado. Por consiguiente, un orden ascendente debe disponer los elementos desde ese monomio hasta el de mayor grado, tomando la siguiente forma:

P_(x) = 5x² + 4x + x³ + x⁵ + 3  →  P_(x) =  3 + 4x + 5x² + x³+ x⁵

Dado el polinomio P_(x) = 3x² – 4x² + 3x + 5x³ + 2x⁴ + 4 ordenar de forma descendente

En este caso, en cambio el orden que se pide es descendente, por lo que sólo hará falta determinar cuál es el monomio de mayor grado, a fin de disponer el polinomio en base a él, es decir, desde él hasta el monomio de menor grado. Por consiguiente, en este polinomio, el monomio de mayor grado es el que cuenta con el exponente 4, por lo que la expresión se ordenará a partir de él, tal como se muestra a continuación:

P_(x) = 3x² – 4x² + 3x + 5x³ + 2x⁴ + 4  →   P_(x) = 2x⁴ + 5x³ + 3x² – 4x² + 3x + 4

Orden de un polinomio de más de una variable

Por el contrario, si el orden del polinomio debe establecerse en polinomios que cuenten con más de una variable, en primer lugar deberá establecerse una letra ordenatriz, definida como la variable que se toma de guía para establecer el orden del polinomio. Luego se procederá a determinar cuál es el máximo grado al que se encuentra elevada esta letra ordenatriz, y a partir de ella se dispondrán los elementos de acuerdo al orden en el cual se desee ordenar el polinomio. No obstante, lo mejor será llevar estas nociones teóricas a la práctica, a través del ejemplo:

Dado el polinomio P_(x,y) = 5xy² + xy³ + 4x²y – 4 ordenar en forma ascendente según la ordenatriz y

El postulado plantea la misión de ordenar este polinomio de más de una variable, al tiempo en que indica además cuál debe ser la letra o variable que sirva de guía. En consecuencia, sólo se tendrán en cuenta los exponentes a los que se encuentra elevada la variable y, a fin de determinar el mayor grado, el cual resulta equivalente a 3, siendo éste el valor de referencia. Sin embargo, como el orden debe ser ascendente, también se debe identificar cuál es el exponente de menor valor, al cual se nuevamente, al haber presencia de un término independiente, es equivalente a cero. Determinados ambos límites, se procede entonces a ordenar el polinomio según la variable y, y de menor a mayor, tal como se muestra a continuación:

P_(x,y) = 5xy² + xy³ + 4x²y – 4  →  P_(x,y) = – 4 + 4x²y + 5xy² + xy³

Dado el polinomio P_(x,y,z) = xyz – 4x²yz + 5x³y + 8x²y²z + z³ + 4 ordenar de forma descendente y ascendente, según cada una de sus variables

A fin de cumplir con la exigencia que plantea el postulado, será necesario entonces determinar el mayor y menor grado de cada variable, sin olvidar que el término independiente es de grado cero, y de aparecer en el monomio deberá tomarse en cuenta en el ordenamiento. No obstante, en cuanto a los grados de las variables se tendrán los siguientes valores:

En cuanto a la variable x →  grado mayor= 3 / grado menor= 1
En cuanto a la variable y →  grado mayor= 2 / grado menor= 1
En cuanto a la variable z →  grado mayor = 3 / grado menor= 1

Determinados estos grados, se deberá disponer entonces el polinomio, de acuerdo al orden tanto ascendente como descendente, que se pueda dar según cada variable:

Si la ordenatriz es la variable x, los órdenes serán los siguientes:
Ascendente:  P_(x,y,z)= 4 + xyz – 4x²yz + 8x²y²z + 5x³y+ z³
Descendente: P_(x,y,z) = 5x³y + 8x²y²z  – 4x²yz + xyz + z³ + 4

Si la ordenatriz es la variable y, los órdenes serán los siguientes:
Ascendente: P_(x,y,z)= 4+ xyz – 4x²yz + 5x³y+ 8x²y²z + z³
Descendente: P_(x,y,z)=  8x²y²z + 5x³y – 4x²yz + xyz + z³ + 4

Si la ordenatriz es la variable z, los órdenes serán los siguientes:
Ascendente:  P_(x,y,z)= 4 + z³ + 8x²y²z  – 4x²yz + xyz + 5x³y
Descendente: P_(x,y,z) =  xyz – 4x²yz + 8x²y²z + z³ + 5x³y + 4

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