Es probable, que antes de abordar aquellos ejemplos que puedan servir para entender los pasos que contempla la operación de ordenamiento de un polinomio de una variable, sea conveniente revisar algunas definiciones necesarias para conocer el contexto en donde se realiza esta operación.
Definición de polinomio
Por consiguiente, lo primero que debe traerse a colación es el concepto de Polinomio, el cual es visto como una expresión algebraica compleja, definida por el Álgebra elemental como una suma finita de monomios. No obstante, el polinomio no sólo implica la suma de monomios, sino que también –aun cuando en menor frecuencia- implica operaciones de resta o de multiplicación, dejando entonces por fuera y en todo momento la posibilidad de establecer entre los monomios operaciones de división.
Definición de grado de un Polinomio
Así mismo, el Álgebra elemental enfoca su atención en los elementos que pueden distinguirse en un polinomio, señalando que se trata de cuatro fundamentales: términos, términos independientes, coeficientes y grado. En este sentido, este último, es decir, el Grado, sería equivalente al valor del máximo grado que puede encontrarse en los monomios que conforman la expresión algebraica. Sin embargo, existen diferentes formas de determinar el grado, según el número de variables que pueden hallarse en él:
Si el polinomio tiene una sola variable
En este caso, hallar el grado del polinomio será tan sencillo como determinar cuál es el valor del mayor exponente que pueda encontrarse en el conjunto de monomios, que constituyen el polinomio. Un ejemplo de este tipo de casos puede ser el siguiente:
Dado el polinomio P(x)= 3x3 – x4 + 2x2 + x – 4 determinar cuál es el grado de esta expresión
Para cumplir con la exigencia del postulado, se deberá evaluar el exponente al que se encuentra elevada la variable x en cada uno de los monomios. De esta forma, se puede determinar que éste valor corresponde a 4, por lo que ese número se tomará como equivalente al grado del monomio. Por ende, se concluye que el polinomio P(x)= 3x3 – x4 + 2x2 + x – 4 es de cuarto grado, o cuártico.
Si el polinomio tiene más de una variable
Por otro lado, si el polinomio sobre el cual debe determinarse el grado cuenta con más de una variable, la operación deberá realizarse de forma distinta. En este sentido, según afirman las distintas fuentes teóricas, será necesario calcular el grado absoluto de cada uno de los monomios en donde pueda verse más de una variable, a fin de comparar sus valores e identificar al de mayor valor, el cual será equivalente al grado del polinomio. A continuación un ejemplo de ello:
Dado el polinomio P(x,y,z) = 3xy – 2x2y + 5xy3 + 2 determinar cuál es el grado de la expresión
En este caso, se deberá calcular entonces los grados absolutos de cada monomio, lo cual se logra sumando entre sí los exponentes que pueden identificarse en cada término:
3xy → 1+1 = 2 (cuando la variable no cuenta con un exponente claramente expresado, se asume igual a la unidad).
– 2x2y → 2+1= 3
5xy3 → 1+3 = 4
Al comparar estos resultados, se logra identificar al 4 como mayor grado absoluto. Así mismo, este valor será tomado como el grado del polinomio, por lo que se puede decir entonces que el polinomio P(x,y,z) = 3xy – 2x2y + 5xy3 + 2 es de cuarto grado, o cuártico.
Orden de un polinomio
Por otro lado, entre las distintas operaciones algebraicas, se conoce con el nombre de Orden u ordenamiento de un polinomio, a la disposición ascendente o descendente que se realiza en un polinomio, tomando como referencia el grado de un polinomio. En el caso de que el polinomio tenga una sola variable, será necesario simplemente identificar cuál es el valor del mayor exponente al que se encuentre elevada dicha variable, a fin de poder disponer los otros monomios en base al orden decidido.
Cómo ordenar un polinomio de una variable
No obstante, la mejor forma de poder visualizar las operaciones relacionadas con el ordenamiento de polinomios de una sola variable será a través de la exposición de algunos ejemplos, que permitan llevar a la práctica lo que la teoría postula. A continuación, algunos de ellos:
Dado el polinomio P(x) = 3x2 – 4x – 5x3 + 4 ordenar de forma ascendente
Para cumplir con la tarea asignada en el postulado, será necesario determinar en primer lugar el grado del polinomio, el cual tomando en cuenta que se trata de un polinomio de una sola variable, será equivalente al valor del máximo exponente. En este caso precisó, el mayor exponente es 3, por lo que el polinomio es de tercer grado, o cúbico. Determinado esto, y tomando en cuenta que se pide que el orden sea en forma ascendente (del término de menor grado al de mayor grado) será necesario entonces determinar también cuál es el elemento de menor valor, el cual en este polinomio resulta ser igual a cero, puesto que el término independiente cuenta con grado cero. Vistos estos dos extremos, puede establecerse entonces el orden solicitado, el cual será expresado de la siguiente manera:
P(x) = 3x2 – 4x – 5x3 + 4 → P(x) = 4 – 4x + 3x2 – 5x3 (orden ascendente)
Dado el polinomio P(a) = a2 – 4a3 + 2a + a4 – 5 ordenar de forma descendente
Para poder ordenar este polinomio de una sola variable en forma descendente, se deberá identificar el grado del polinomio, el cual será equivalente al exponente de mayor valor. En este caso, el mayor exponente es equivalente a 4, por lo que el polinomio resulta ser de cuarto grado. Al ser el orden pedido el descendente, se deberá entonces ordenar los términos desde el monomio de mayor grado al de menor grado, lo cual puede expresarse de la siguiente forma:
P(a) = a2 – 4a3 + 2a + a4 – 5 → P(a) = a4 – 4a3 + a2 + 2a – 5 (orden descendente)
Dado el polinomio P(y)= y4 – 2y2 + 3y – 5 ordenar tanto de forma ascendente como descendente
Debido a que en el postulado se pide que la expresión sea ordenada de las dos formas posibles, lo mejor será por comenzar a determinar cuál es monomio de mayor grado y el de menor grado, teniendo entonces que el mayor es equivalente a 4 (es decir que el polinomio es de cuarto grado) y el menor a 1. En cuanto a las diferentes disposiciones, estas serán expresadas de la siguiente forma:
P(y)= y4 – 2y2 + 3y – 5
orden ascendente: P(y)= 3y – 2y2 + y4 – 5
orden descendente: P(y)= y4– 2y2 + 3y – 5
Otros ejemplos de cómo ordenar polinomios de una sola variable pueden ser estos que se muestran a continuación:
P(a)= a5 – a + 3a2 + 8
orden ascendente: P(a)= -a + 3a2 + a5 + 8
orden descendente: P(a)= a5 + 3a2 – a + 8P(x) = 3x – 3x4 + 2x2 – x5 + 9
orden ascendente: P(x) = 3x + 2x2 – 3x4– x5 + 9
orden descendente: P(x) = – x5– 3x4 + 2x2 + 3x + 9
P(z)= z – 4z5 + 3z2 + 8 + 4 + 9z4 + z3
orden ascendente: 4 + 8 + z + 3z2 + z3 + 9z4– 4z5
orden descendente: – 4z5 + 9z4+ z3+ 3z2+ z + 4 + 8
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