Conceptos fundamentales

No obstante, antes de continuar sobre las distintas propiedades que pueden identificarse en torno a este Conjunto complementario y el Conjunto Vacío y el Universal, quizás sea conveniente detenerse un momento sobre las definiciones de cada una de estas colecciones, a fin de poder entender estas leyes matemáticas en su contexto apropiado:

Conjunto

En este sentido, es probable que la primera definición que deba abordarse sea la del propio Conjunto, pues esto ayudará a tener clara la naturaleza del objeto en base al cual se determinan las distintas colecciones. De esta manera, se puede decir entonces que el Conjunto es entendido por las Matemáticas como una colección abstracta, constituida en base a elementos en los que puede identificarse un rasgo en común, de ahí que puedan ser entendidos como una agrupación o conjunto. Por otra parte, esta disciplina también ha señalado que los elementos además de constituir al Conjunto, son los que lo definen de una forma única y exclusiva.

Conjunto Universal

Así también se hace necesario lanzar luces sobre el concepto de Conjunto Universal, señalando que éste es entendido por el Álgebra de Conjuntos como aquella colección en donde se encuentra, de forma plena y completa, la totalidad de elementos que puede existir en un universo definido. En consecuencia, el Conjunto Universal también podrá ser conocido como el Conjunto referencial, pues él da cuenta de la totalidad de elementos que se encuentra en una dimensión específica. Por lo general, este universo es definido a conveniencia, según la realidad que se desee establecer.

Conjunto vacío

Por el contrario, el Conjunto vacío será aquella colección en donde básicamente no pueda conseguirse ningún tipo de elemento, de ahí que sea identificado con el nombre de Conjunto vacío. Generalmente, este tipo de colección es denotada a través del signo ∅, aunque existen corrientes que prefieren nombrarlo a través de dos llaves { } entre las cuales no puede distinguirse ningún elemento. Igualmente, es importante destacar que el Conjunto vacío es tomado, dentro del Álgebra de conjuntos, como un Elemento neutro, equivalente al papel que cumple el cero (0) dentro de las operaciones numéricas.

Propiedades del Conjunto complementario en referencia a U y ∅

Como toda operación matemática, el Complementario de un Conjunto responde a una serie de propiedades o Leyes, de acuerdo a las distintas situaciones u operaciones en las que se vea involucrado. Un ejemplo de ello lo ejercen aquellas propiedades que pueden distinguirse respecto al Conjunto vacío, así también como al Conjunto Universal. En este sentido, se pueden distinguir entonces dos Leyes básicas:

Respecto al Conjunto Universal

En primer lugar, se puede describir una propiedad matemática que indica que en todo momento, y bajo cualquier circunstancia, el complemento del Conjunto Universal será el propio Conjunto vacío. Esta propiedad es fácilmente explicable si se recuerda que el Conjunto Universal constituye la totalidad de elementos de un universo, por lo que su complemento sólo puede ser un conjunto en donde no existan elementos, pues al contenerlos todos, no cuenta con un conjuntos –que tenga elementos- que pueda servirle de complemento, ya que todos están en él. Esta propiedad pueda ser expresada matemáticamente de la siguiente forma:

U^∁ = ∅

Respecto al Conjunto vacío

En contravía, también se puede encontrar una propiedad que indica que el Conjunto complementario del Conjunto vacío es el Conjunto Universal. Al pensar en la razón detrás de esta Ley, resulta lógico que si un Conjunto vacío establece un complementario en donde aparezcan todos aquellos elementos que no están en él, al no tener ninguno, la respuesta será un conjunto en donde pueda encontrar todos y cada uno de los elementos, por ende, el complementario del Conjunto vacío sólo puede ser el Conjunto Universal:

∅^∁ = U

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