Ejemplos del Conjunto Universal y el Conjunto Vacío en el Complementario

Complementario del Conjunto Universal

En cuanto a esta propiedad lo primero que deberá hacerse es recordar la definición de Conjunto Universal, el cual puede ser entendido como aquella colección en donde se pueden contar como elementos todos aquellos pertenecientes a un universo determinado. En este sentido, entonces, el Conjunto Universal es aquel en donde existen todos los elementos. A pesar de esto, es decir, de ser un conjunto especial cuenta también con la posibilidad de establecer su complementario, el cual, según indica la Ley matemática que puede identificarse al respecto, será siempre y en todo momento el Conjunto vacío, es decir, el Conjunto en donde no puede encontrarse ningún elemento. Esta propiedad puede ser explicada por el hecho de que al tener un conjunto en donde puedan encontrarse de forma absoluta todos los elementos, el único Conjunto complementario –entendido como la colección en donde están todos los elementos que no aparecen en el conjunto dado- será aquel en donde no hayan elementos, es decir, el Conjunto vacío:

U^∁= ∅

Ejemplos sobre U^∁

No obstante, quizás la mejor forma de aproximarse a esta propiedad sea a través de la exposición de un ejemplo concreto que venga a ilustrar cómo se cumple esta propiedad. A continuación entonces un caso de Conjunto complementario de un Conjunto Universal:

Si se tiene un Conjunto universal, compuesto por las letras de la “a” a la “k”: U= {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k} determinar cuál es el Conjunto Complementario:

Para cumplir con este procedimiento, será necesario pensar cuál será el conjunto en donde puedan encontrarse aquellos que faltan en U. Al hacerlo se podrá concluir que al ser U el Conjunto Universal no echa de menos ningún elemento, por lo que la respuesta solo puede conducir al Conjunto vacío. Por ende:

U^∁= ∅

Sobre el Complementario del Conjunto vacío

Por otra parte, el Álgebra de Conjuntos también ha indicado que puede hablarse del Conjunto complementario del Conjunto vacío. En este caso, esta disciplina matemática indica que siempre y en todo caso, por Ley matemática, el complementario del Conjunto vacío es el Conjunto Universal, aquel que contiene la totalidad de los elementos. Esta situación podría ser explicable si se piensa que el Complementario, es decir el Conjunto en donde están aquellos elementos que no aparecen en el conjunto dado, de un conjunto que no tiene elementos solo puede ser un conjunto que los tenga todos, de ahí que se asuma que es el Conjunto Universal.

Ejemplo de ∅^∁

En  este caso no se puede hablar de un ejemplo en concreto, puesto que el conjunto dado será el Conjunto vacío, por lo que se desconocerá el universo al cual pueda referir. Por consiguiente, se toma como Conjunto Universal absoluto. De esta forma, sólo se puede hacer referencia a la expresión matemática de esta Ley:

∅^∁ =  U

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