Conjunto vacío en el Producto cartesiano de conjuntos

Definiciones fundamentales

Por consiguiente, quizás lo mejor sea comenzar por la propia definición de Conjunto, a fin de poder entender entonces cuál es la naturaleza de los objetos sobre los cuales tiene lugar la operación del Producto cartesiano. Igualmente, será necesario revisar la definición de esta operación, al igual que el concepto del Conjunto vacío. A continuación, cada uno de estos conceptos:

Conjunto

En primera instancia, se puede comenzar por decir entonces que el Conjunto puede ser visto como aquella colección abstracta, conformada por una agrupación de elementos, los cuales pueden ser considerados como parte de una misma naturaleza, es decir, que en cada uno de ellos se distingue un rasgo en común, de ahí que puedan ser concebidos como una agrupación. Así mismo, la Matemática ha señalado que el Conjunto es un objeto matemático, cuya principal característica es encontrase conformado y definido, de forma única y exclusiva por sus elementos.

Producto cartesiano

Con respecto al Producto cartesiano, las distintas fuentes coinciden en indicar que éste puede ser entendido como una operación propia del Álgebra de Conjuntos, en donde básicamente un conjunto A establece una operación de multiplicación con un conjunto B, obteniendo un tercer conjunto A x B, en donde se pueden contar como elementos los distintos pares ordenados, que se obtienen como resultado de multiplicar cada uno de los elementos del conjunto A por cada uno de los elementos del conjunto B. La forma matemática de expresar esta operación será la siguiente:

A x B= (a, b)

Conjunto vacío

Finalmente, es importante traer también a capítulo el concepto de Conjunto vacío, el cual puede ser visto como aquella colección en donde no puede encontrarse ningún elemento, por lo que se considera que entonces éste se encuentra vacío. Así mismo, las fuentes matemáticas son enfáticas en señalar que a este conjunto se le considera un absoluto, por lo que se habla entonces del Conjunto vacío, y no de un conjunto vacío. El signo matemático para expresar el Conjunto vacío es ∅. Igualmente, por lo general, en el ámbito del Álgebra de conjuntos se considera al Conjunto vacío como equivalente a cero.

Propiedad sobre ∅ en el Producto cartesiano

En este sentido, dentro de la operación del Producto cartesiano, el Conjunto vacío también asume el papel del cero, encontrándose entonces que toda vez que un conjunto A establezca una operación de multiplicación con el Conjunto vacío, el resultado será el propio Conjunto vacío. Esta situación tal vez pueda explicarse por la sencilla razón de que si teniendo un conjunto, conformado por elemento y el Conjunto vacío, en donde no pueda contarse ninguno, no existe posibilidad de que se establezcan pares ordenados de ningún tipo, por lo que entonces el conjunto resultante también será el Conjunto vacío:

A x ∅ = ∅

Ejemplo de ∅ en el Producto cartesiano

Sin embargo, es también probable que la mejor forma de explicar esta propiedad sea a través de un ejemplo, que permita ver la forma en que ella se cumple, tal como sucederá a continuación:

Dado un conjunto A= {1, 2, 3, 4, 5} establecer una operación de Producto cartesiano con el Conjunto vacío.

Para cumplir con aquello solicitado en el postulado, será necesario comenzar por expresar la operación:

A= {1, 2, 3, 4, 5}
∅

A x ∅ =
A x ∅ = {1, 2, 3, 4, 5} x ∅

Al intentar dar solución a esta operación, se encuentra entonces que no existen elementos en el Conjunto vacío, en base a los cuales construir pares ordenados, por lo que entonces el conjunto resultante puede ser considerado también como un Producto vacío. Por ende, se considera comprobada la propiedad sobre el Conjunto vacío en el Producto cartesiano:

A x ∅= ∅

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