Propiedades del Producto cartesiano en conjuntos

Definiciones fundamentales

Por consiguiente, puede ser conveniente reparar entonces en la propia definición de Conjunto, a fin de entender el objeto matemático en base al cual se da esta operación, así también como una definición del propio Producto cartesiano, con lo cual se tendrá presente también la operación matemática en torno a la cual tienen lugar las distintas propiedades descritas. A continuación cada uno de los conceptos:

Conjunto

En este sentido, se comenzará entonces por la definición de Conjunto, el cual puede ser entendido como un objeto matemático, conformado por un conjunto de elementos, que pueden ser considerados como propios de una misma naturaleza, es decir, que todos cuentas con un rasgo en común, el cual les permite ser considerados como parte de una colección abstracta. Con respecto a sus principales características, las distintas fuentes han señalado que esta colección se distingue en primer lugar por estar constituida de forma única y exclusiva por sus elementos, los cuales a su vez son los únicos con la propiedad de definir al conjunto.

Producto cartesiano

Por su parte, el Producto cartesiano puede ser definido como una operación propia del Álgebra de Conjuntos, en donde dos conjuntos realizan una multiplicación, de tipo A x B, en donde se da origen a un tercer conjunto, constituido por los pares ordenados que se obtienen como resultado al multiplicar cada uno de los elementos del conjunto A por cada uno de los elementos del conjunto B. Así mismo, las distintas fuentes han señalado que esta operación puede ser resuelta a través de dos métodos: bien sea por el método de la galera, o por el método de la multiplicación directa, ambos que conducirán inequívocamente a una operación de tipo:

A x B= (a,b)

Propiedades del Producto cartesiano

Teniendo en cuenta estas definiciones, tal vez sea mucho más sencillo revisar cada una de las propiedades que el Álgebra de conjuntos considera como propias del Producto cartesiano, y que pueden resumirse de la siguiente manera:

Propiedad sobre el Conjunto vacío en el Producto cartesiano

De acuerdo a lo que dicta esta disciplina matemática, dentro de la operación del Producto cartesiano, el Conjunto vacío tendrá la propiedad de ejercer la función del cero. Al no contar con elementos dentro de él, a través de los cuales los elementos del conjunto A puedan construir pares ordenados, el resultado será el propio Conjunto vacío. Esta situación se explica fácilmente al ver que al multiplicar A y ∅ el conjunto esperado de A x ∅ estará también vació al no contar con pares ordenados que lo conformen. Esta propiedad matemática puede ser expresada de la siguiente forma:

A x ∅ = ∅

Sobre la no conmutación del Producto cartesiano

Así mismo, el Álgebra de conjuntos se ha encargado de señalar que el Producto cartesiano de conjuntos no es una operación que pueda considerarse con la capacidad de ser conmutativa. Es decir, que el orden de los factores sí altera el producto. En este sentido, basta con revisar una operación de este tipo, para entender lo que dicta la norma:

Si se tiene un conjunto A= {1, 2} y un conjunto B= {a, b} se pueden someter a los dos órdenes posibles de multiplicación, a fin de comparar sus resultados:

A= {1, 2}
B= {a, b}

A x B= {1, 2} x {a, b}
A x B= {(1,a), (1,b), (2,a), (2,b)}

B x A = {a, b} x {1, 2}
B x A= {(a,1), (a,2), (b,1), (b,2)}

Al comparar resultados, se puede ver cómo los distintos órdenes de productos, efectivamente conducen a resultados distintos, por lo que no se puede considerar entonces que el Producto cartesiano responda a la propiedad conmutativa:

A x B= {(1,a), (1,b), (2,a), (2,b)}
B x A= {(a,1), (a,2), (b,1), (b,2)}

A x B ≠ B x A
{(1,a), (1,b), (2,a), (2,b)} ≠ {(a,1), (a,2), (b,1), (b,2)}

Propiedad asociativa

De igual forma, en el caso de que la multiplicación de conjuntos se produzca entre tres o más colecciones, el Álgebra de conjuntos indica que este tipo de operaciones cuenta con la propiedad de establecer distintos órdenes de asociación entre sus conjuntos, para obtener iguales resultados, es decir, que el orden en que se den dichas asociaciones no afecta los distintos tipos de conjuntos que se obtengan. La forma matemática de expresar esta situación matemática será  a través de la siguiente manera:

(A x B) x C = A x (B x C)

Sobre el producto de los cardinales

Finalmente, otra de las propiedades que el Álgebra de conjuntos destaca sobre el Producto cartesiano es aquel que indica que el Conjunto producto A x B puede ser considerado como el producto de los cardinales de cada conjunto, es decir, de la totalidad de elementos de cada colección que ha participado en la operación del Producto cartesiano. Sin embargo, dentro de esta propiedad debe tomarse en cuenta dos situaciones:

• Si los conjuntos son finitos: en caso de que los conjuntos involucrados en la operación de Conjunto cartesiano sean finitos, su multiplicación dará como resultado igualmente un conjunto finito, en donde también se puede dilucidar que el cardinal del producto obtenido en base al Producto cartesiano es efectivamente el producto de los cardinales de cada conjunto.
• Si alguno de los conjuntos es infinito: por otro lado, si en la operación se encuentra algún conjunto que pueda identificarse como infinito, el resultado del Producto cartesiano será a su vez un conjunto infinito.

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