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Conjuntos disjuntos

Conjuntos disjuntosConjuntos disjuntos

 Quizás, previo a abordar la definición de Conjunto Disjunto, sea necesario revisar de forma breve la propia definición de Conjunto, a fin de tener presente la naturaleza del objeto sobre la cual se da la noción de Conjunto Disjunto.

Definición de Conjunto

En consecuencia, se puede comenzar por decir que las Matemáticas han señalado al Conjunto como una agrupación de elementos, entre los cuales se puede encontrar al menos un elemento en común, es decir, que pueden ser considerados como pertenecientes a una misma naturaleza, de ahí que también sean pensados entonces como una colección abstracta de elementos. Por otro lado, las Matemáticas han señalado que la principal característica que puede encontrarse en los conjuntos es aquella referente a la propiedad que tienen sus elementos de definir, de forma única y exclusiva, a los conjuntos de los que hacen parte. Así mismo, el Álgebra de Conjuntos señala que la notación del Conjunto responde igualmente a ciertas directrices: la primera, es el nombre del Conjunto, el cual siempre responderá al nombre de una letra mayúscula; por su parte, la segunda irá dirigida a indicar que los elementos del conjunto irán siempre comprendidos entre signos de llaves, y expuestos como una enumeración.

Conjuntos disjuntos

Con esta definición presente, tal vez sea mucho más sencillo aproximarse al concepto de los Conjuntos Disjuntos, los cuales son entendidos a su vez por el Álgebra de Conjuntos como aquellos conjuntos en donde no se puede encontrarse un elemento en común entre ellos. En otras palabras, los Conjuntos disjuntos –conocidos también como Conjuntos ajenos, y catalogados dentro de los Conjuntos especiales- estarán conformados por dos o más conjuntos cuyos elementos son totalmente diferentes entre sí, no pudiendo encontrarse ninguno en común.

Expresiones matemáticas de los Conjuntos disjuntos

En cuanto a las posibles expresiones matemáticas que esta disciplina matemática ha indicado para este tipo de Conjunto, se encuentran las siguientes:

  • En primer lugar, los Conjuntos disjuntos pueden ser descritos matemáticamente como el tipo de conjuntos que se establecen cuando dados un conjunto A y un conjunto B, A no cuenta con ningún elemento que pertenezca a B, mientras que igualmente y en viceversa, B no cuenta con ningún elemento que pertenezca a A, tal como se puede ver en la siguiente expresión:

Si x ∈ A → x ∉ B   y    Si x ∈ B → x ∉ A

  • Por otro lado, la noción de Conjuntos disjuntos también puede ser expresada a través de la operación de Intersección. En tal caso, esta operación del Álgebra de Conjuntos, destinada a señalar cuáles son los elementos comunes entre dos conjuntos, en los Conjuntos disjuntos, siempre será equivalente al Conjunto vacío, puesto que el conjunto conformado sobre los elementos comunes de dos o más conjuntos disjuntos siempre carecerá de elementos, es decir, estará vacío:

A ∩ B= ∅

Ejemplo de Conjuntos disconjuntos

No obstante, puede que la forma más eficiente de completar la definición de Conjuntos disjuntos o ajenos sea a través de la exposición de algunos ejemplos, pues estos permitirán ver en la práctica lo que el Álgebra de conjuntos señala en el plano teórico, tal como el que se muestra a continuación:

Dado un conjunto A, conformado por nombres de frutas: A= {Níspero, Kiwi, Papaya, Durazno, Sandía, Melón} y un conjunto B, constituido por nombres de frutas cítricas: B= {Naranja, Pomelo, Lima, Limón, Mandarina} determinar si son Conjuntos disjuntos.

A fin de cumplir con la solicitud presente en este postulado, será necesario entonces comparar ambos conjuntos, para así poder determinar si entre ellos existe o no algún elemento en común:

A= {Níspero, Kiwi, Papaya, Durazno, Sandía, Melón}
B= {Naranja, Pomelo, Lima, Limón, Mandarina}

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Al hacerlo se puede ver cómo cada elemento de A, pertenece a A, pero no a B:

Níspero ∈ A  /  Níspero ∉ B
Kiwi ∈ A  /  Kiwi ∉ B
Papaya ∈ A  /  Papaya ∉ B
Durazno ∈ A  /  Durazno ∉ B
Sandía ∈ A  /  Sandía ∉ B
Melón ∈ A  /  Melón ∉ B

Por otro lado, también se puede ver cómo cada uno de los elementos de B, pertenecen a este conjunto, pero no al conjunto A:

Naranja ∈ B / Naranja ∉ A
Pomelo ∈ B / Pomelo ∉ A
Lima ∈ B / Lima ∉ A
Limón ∈ B / Limón ∉ A
Mandarina ∈ B / Mandarina ∉ A

De esta manera se concluye, que A y B no tienen ningún elemento en común entre ellos, por lo que puede señalarse como Conjuntos disjuntos. Así mismo, puede aplicarse en este caso una operación de intersección, para determinar si en efecto el conjunto formado entre A y B, en base a sus elementos comunes, cuenta con algún elemento, o en efecto es el Conjunto vacío:

A= {Níspero, Kiwi, Papaya, Durazno, Sandía, Melón}
B= {Naranja, Pomelo, Lima, Limón, Mandarina}

A ∩ B=
A ∩ B= {Níspero, Kiwi, Papaya, Durazno, Sandía, Melón} ∩ {Naranja, Pomelo, Lima, Limón, Mandarina}

A ∩ B= ∅

Al intentar crear un conjunto que estuviera conformado por los elementos comunes entre A y B, se ha descubierto que estos dos conjuntos no presentan elementos que perteneciendo a uno pueda encontrarse también en el otro, por lo tanto el resultado a esta operación de intersección es en efecto el Conjunto vacío, lo cual lleva a concluir igualmente que se tratan de Conjuntos disjuntos o ajenos.

Imagen: pixabay.com

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Modificado por última vez el noviembre 9, 2022 2:28 pm

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