Cuando se eleva al cuadrado los dos miembros de la ecuación

Definiciones fundamentales

Por consiguiente, también se decidirá delimitar esta revisión teórica a dos nociones específicas: Igualdades y Ecuaciones, por encontrarse directamente relacionadas con el procedimiento matemático, que se estudiará posteriormente.  A continuación, cada uno de estos conceptos:

Las igualdades

De esta manera, podrá comenzarse por decir que las Matemáticas han definido las Igualdades como la relación que se establece entre dos elementos o términos, que resultan iguales en cuanto a su valor total. Así también, la disciplina matemática ha señalado que el signo para expresar esta relación es el signo igual (=).

Por otro lado, los distintos autores han señalado que en las Igualdades pueden encontrarse dos distintos términos, cada uno de los cuales ha sido explicado de la siguiente manera:

• Primer término: constituido por el grupo de elementos que se encuentran ubicados de forma anterior al signo igual.
• Segundo término: por su parte, el segundo término de la igualdad estará constituido por el grupo de elementos que se dispongan después del signo igual.

También, las Matemáticas han señalado que existen dos distintos tipos de igualdades, las cuales han sido definidas tal como se ve a continuación:

• Igualdades numéricas: aquellas en donde los dos términos de la igualdad se encuentran constituidos únicamente por números.
• Igualdades literales: con respecto a las igualdades literales, estas se encontrarán conformadas por términos en los cuales pueden encontrarse tanto elementos numéricos como elementos literales.

Ecuaciones

En segunda instancia, será también prudente lanzar luces sobre la definición de Ecuaciones, las cuales han sido explicadas como una igualdad literal, en donde ocurre que el elemento literal constituye una incógnita, que solo cuenta con la posibilidad de tener una solución. Un ejemplo de este tipo de expresiones será la siguiente:

Suponiendo que se tenga la siguiente expresión: x + 9 = 17

Se puede optar por sustituir a x por distintos valores, a fin de comprobar si realmente esta igualdad se cumple tan sólo cuando el valor de x es uno en específico, o si por el contrario se cumple independientemente del valor que presenta x.

2 + 9 = 17 → 11 ≠ 17
3 + 9 = 17 → 12 ≠ 17
5 + 9 = 17 → 14 ≠ 17
8 + 9 = 17 → 17 ≠ 17

Al hacerlo, se puede ver cómo la igualdad originalmente expresada se cumple tan sólo cuando x es igual a 8. Siendo así, es decir, teniendo la x solo la oportunidad de asumir un valor para que la igualdad se cumpla, la expresión puede ser considerada entonces una Ecuación. Por el contrario, si se hubiese comprobado que la igualdad literal se cumplía pese a los valores de x, la expresión se entendería como una unidad.

Qué ocurre cuando la ecuación se eleva al cuadrado

Una vez se han revisado cada una de estas definiciones, puede que ciertamente sea mucho más sencillo aproximarse a la situación matemática que ocurre cuando se decide elevar los dos términos de la ecuación al cuadrado, pues esto a su vez ayudará a comprender igualmente, llegado el momento, las ecuaciones radicales.

Al respecto, las Matemáticas han señalado entonces que las Ecuaciones equivalentes serán aquellas que una vez se han sumado o multiplicado por un número en específico conducen a los mismos resultados que se obtienen en la expresión original.

No obstante, cuando los dos términos de una ecuación se elevan al cuadrado no se obtiene una ecuación equivalente, pues en realidad se logra que la primera solución de la segunda ecuación coincida con la solución de la ecuación original, mientras que la segunda solución de la ecuación elevada al cuadrado será siempre una solución extraña. Teniendo soluciones distintas, entonces ambas expresiones –la original y el cuadrado de esta- no pueden considerarse equivalentes.

Sin embargo, puede que la mejor manera de comprender esta situación sea revisando un ejemplo, en el cual se pueda ver de forma concreta qué es lo que ocurre toda vez que una ecuación se eleva al cuadrado, y se comparan las soluciones obtenidas en amabas expresiones. A continuación, el siguiente ejercicio:

Suponiendo que se cuente con la siguiente ecuación:   5x = 25

Y se quisiera observar si es equivalente a su cuadrado, se deberá entonces comenzar por elevar ambos miembros de esta ecuación a sus cuadrados respectivos:

5x = 25 → (5x)² = 25² → 25x² = 625

Teniendo la ecuación original y su cuadrado, se procede entonces a despejar o solucionar cada una de ellas, con el fin de comparar sus respectivas soluciones:

 5x = 25 →  x = 25 : 5 → x = 5

25x² = 625 → x² = 625 : 25 → x² = 25 → x = ±√25 →  x₁ = 5  y  x₂ = -5

Se obtiene, efectivamente que la primera solución del cuadrado de la ecuación coincide con la solución de la ecuación original, mientras que la segunda ecuación siendo un número negativo, es considerada como una solución extraña. Por ende, teniendo soluciones diferentes, el cuadrado de la ecuación no puede ser considerada equivalente a la ecuación original, puesto que no cuentan con soluciones exactamente iguales.

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