Definiciones fundamentales

Por consiguiente, se procederá igualmente en delimitar esta revisión teórica a dos nociones específicas: Trinomio y Productos notables, por encontrarse directamente relacionado con el tipo de producto notable que se estudiará posteriormente. A continuación, las siguientes definiciones:

Trinomio

De esta manera, podrá comenzarse por decir que el Trinomio ha sido explicado como una expresión algebraica, que se encuentra constituida por la suma o resta de tres monomios, es decir, de términos algebraicos, que se encuentran compuestos por un elemento numérico y un elemento literal, entre los que se establece una operación de multiplicación, siendo esta la única posible entre estos elementos.

Por ende, un trinomio también puede ser explicado como un polinomio de tres términos. A continuación, algunos ejemplos sobre esta expresión algebraica:

x³ + 2y + z=
x²  + y + 4=
3a³ + 2b + c=

Productos notables

Así también, se tomará un momento para pasar revista sobre el concepto de Productos notables, los cuales han sido explicados entonces como una serie o conjunto de reglas matemáticas, orientadas a la factorización, es decir, al proceso por medio del cual se toma un polinomio, y se expresa como un producto.

En consecuencia, los Productos notables también pueden ser entendidos como una serie de reglas o fórmulas matemáticas que permiten la multiplicación directa entre polinomios, lo cual a la larga se traduce en un ahorro de tiempo, al momento de realizar operaciones, así como en la reducción de la posibilidad de cometer errores, al no tener que multiplicar elemento por elemento.

Cubo de un trinomio

Una vez se han revisado cada uno de estos conceptos, puede que ciertamente sea mucho más sencillo aproximarse al concepto de este producto notables, cuyo propósito es proporcionar una forma directa de resolver todo trinomios que se eleve al cubo, es decir, todo polinomio de tres términos que se multiplique a sí mismo tres veces.

No obstante, las Matemáticas señalan que hay varias formas de resolver este tipo de operación. A continuación, una breve explicación de cada una de ellas:

Agrupación de términos

En primer lugar, se encontrará la agrupación de términos. Esta forma plantea que si la operación es básicamente la multiplicación del polinomio por sí mismo tres veces, entonces la solución podrá ser igual al cuadrado del trinomio por el trinomio sin elevar. Esta fórmula podría ser expresada de la siguiente forma:

(a + b + c)³ = (a + b + c).(a + b + c).(a + b + c)=

(a + b + c)² . (a + b + c) =

(a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc) . (a + b + c)=

a³ + b³ + c³ + 3a²b + 3a²c + 3ab² + 3b²c + 3ac² + 3bc² + 6abc

Es decir, el Cubo de un trinomio resultará igual al cubo del primer término, más el cubo del segundo término, más el cubo del tercer término, más el triple del cuadrado del primero término por el segundo término, más el triple del primer término al cuadrado por el tercer término, más el triple del primer término por el cuadrado del segundo, más el triple del cuadrado del segundo término por el tercero, más el triple del primer término por el cuadrado del tercero, más el triple del segundo término por el cuadrado del tercer término, más el producto de los tres términos por seis.

Identidad de Gauss

Así mismo, las Matemáticas plantean que el Cubo de un término puede ser igualmente resuelto si se aplica la identidad notable, conocida como Identidad de Gauss, la cual plantea que siempre que se desee resolver el cubo de un trinomio se podrá hacer si se considera que el producto deberá ser igual al cubo del primer término, más el cubo del segundo término, más el cubo del tercer término, más el triple de la suma de los términos por el producto de los pares posibles entre ellos menos el triple del producto de los tres términos. Esta identidad puede expresarse de la siguiente forma:

(a + b + c)³ = a³ + b³ + c³ + 3.(a + b + c).(ab + ac + bc) – 3abc

Otras fórmulas

Además de estas existen al menos dos fórmulas más que permiten la realización del Cubo de un trinomio. La primera de ellas señala que esta potencia siempre será igual al triple del producto de la suma de los términos por el cuadrado de los terminos menos el doble de la suma de los cubos de los términos, más el producto de los términos multiplicado por seis, lo cual puede expresarse matemáticamente de la siguiente manera:

(a + b + c)³ = 3(a + b +c) . (a² + b² + c²) – 2.(a³ + b³ + c³) + 6abc

Por otro lado, también hay una fórmula que indica que el cubo de un trinomio puede resultar siempre igual a la suma de los cubos de cada uno de los términos más el triple de los productos de las sumas del primer término más el segundo por la suma del segundo término más el tercero, por la suma del primer término por el tercero. Esta fórmula puede expresarse a su vez de la siguiente forma:

(a + b +c)³ = a³ + b³ + c³ + 3.(a + b) . (b + c) . (a + c)

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