Definiciones fundamentales

En este sentido, será pertinente comenzar entonces por abordar la propia definición de Conjunto, pues esto ayudará a tener presente la naturaleza del objeto, en base al cual se establecen las relaciones, tanto de equivalencia como la de igualdad. En el mismo orden de ideas, tal vez sea también importante revisar de forma breve las propias definiciones de Cardinalidad, así como de Conjuntos Equivalentes y Conjuntos Iguales, por encontrarse totalmente relacionados con la diferencia teórica que busca establecerse. A continuación, cada uno de los elementos:

Conjunto

De acuerdo a lo que indican la mayoría de las fuentes teóricas, se puede entender al Conjunto como una agrupación de elementos, entre los cuales se pueden encontrar al menos un rasgo en común, es decir, que pueden ser vistos como parte de una misma naturaleza, de ahí que también sean concebidos como una colección abstracta. Igualmente, las Matemáticas señalan que los elementos de un Conjunto poseen la misión de constituir y definir, de forma única y exclusiva al conjunto, tarea que se convierte igualmente en una de las principales características del Conjunto.

Cardinalidad

Por su parte, la Cardinalidad es concebida por el Álgebra de Conjuntos como una correspondencia que da cuenta de la cantidad de elementos que tiene un conjunto. Así mismo, es vista como uno de los principales factores para determinar si un conjunto es finito o no, puesto que la definición de este implica el tener como Cardinalidad un número entero y positivo. De igual manera, la Cardinalidad podrá ser expresada a través del signo # aun cuando también se puede optar por encerrar el nombre del conjunto entre signos de barras: │A│. Un ejemplo de Cardinalidad lo puede constituir el siguiente:

Dado el conjunto A= {1, 2, ●, a, b, ▲} establecer su cardinalidad

Para cumplir con este propósito será necesario simplemente establecer cuántos elementos tiene el conjunto, lo cual se puede hacer –en este caso preciso- simplemente contabilizándolos, obteniendo el siguiente resultado:

A= {1, 2, ●, a, b, ▲}

│A│= 6

El conjunto A tiene seis (6) elementos.

Conjuntos equivalentes

Sin embargo, la Cardinalidad es una correspondencia que no sólo sirve a la hora de definir su un conjunto es finito o no, puesto que –según indican la mayoría de las fuentes- la Cardinalidad será también el factor que se usará como guía a la hora de establecer si dos colecciones pueden ser consideradas como equivalentes o no. De esta manera, el Álgebra de Conjuntos concebirá a los Conjuntos equivalentes como aquellos que coinciden en cuanto a su Cardinalidad, más allá de que la identidad de sus elementos no coincida, por ejemplo:

Dado un conjunto A, conformado por nombres de frutas: A= {Manzana, Naranja, Mandarina, Níspero} y un conjunto B, constituido por nombres de instrumentos musicales: B= {Cuatro, Guitarra, Piano, Xilófono} determinar si se trata de Conjuntos equivalentes:

Para cumplir con esta solicitud, se necesitará entonces determinar la Cardinalidad de cada elemento:

Cardinalidad de A:

A= {Manzana, Naranja, Mandarina, Níspero}

│A│= 4

Cardinalidad de B:

B= {Cuatro, Guitarra, Piano, Xilófono}

│B│= 4

Si se compararan las cardinalidades de estos conjuntos se encontraría que estas resultan iguales, por lo que ambos conjuntos pueden ser considerados Conjuntos equivalentes:

│A│=│B│

Conjuntos iguales

Por otro lado, también resulta necesario ahondar en la definición de Conjuntos Iguales, los cuales pueden ser entendidos como colecciones abstractas que cuentan con la característica de coincidir tanto en el número como en la identidad de sus elementos, de forma absoluta, y al punto de que A puede considerarse subconjunto de B (A⊆B) al tiempo en que B puede considerarse también como subconjunto de A (B⊆A) puesto que al ser conjuntos iguales cada uno se encuentra dentro del otro. Un ejemplo de este tipo de conjuntos podría ser el siguiente:

Dado un conjunto A, en donde puedan contarse como elementos nombres de ciudades que empiecen por la letra “b”: A= {Bogotá, Brasilia, Barranquilla, Barinas, Buenos Aires} y un conjunto B, conformado por ciudades latinoamericanas: B= {Bogotá, Brasilia, Barranquilla, Barinas, Buenos Aires} establecer si se trata de conjuntos iguales:

Para cumplir con este postulado, se puede optar por establecer entre ambas colecciones una operación de Diferencia, la cual –en caso de que ambos conjuntos puedan resultar como Conjuntos iguales- dará como resultado el Conjunto vacío, puesto que no se podrán hallar elementos que estando en A no se encuentren en B, o viceversa:

A= {Bogotá, Brasilia, Barranquilla, Barinas, Buenos Aires}
B= {Bogotá, Brasilia, Barranquilla, Barinas, Buenos Aires}

A\\B= {Bogotá, Brasilia, Barranquilla, Barinas, Buenos Aires} \\ {Bogotá, Brasilia, Barranquilla, Barinas, Buenos Aires}

A\\B= ∅

Diferencias entre Conjuntos equivalentes e iguales

Tal como puede encontrarse en cada una de sus definiciones, se puede concluir que tanto los Conjuntos equivalentes –siendo esto su principal punto de referencia- como los Conjuntos iguales –en donde resulta obvio- coinciden en cuanto a su Cardinalidad, es decir, que si dos conjuntos son equivalentes es porque tienen igual número de elementos, así como si son iguales deben tener también la misma cantidad de elementos. No obstante, existe una diferencia entre unos y otros, la cual está constituida por la identidad de estos elementos.

En este sentido, mientras en los Conjuntos equivalentes basta que haya coincidencia en cuanto al número de elementos sin importar cuáles son estos, en el caso de los Conjuntos iguales se hace imprescindible que más allá de que se pueda contar igual cantidad de elementos estos sean plenamente iguales con respecto a su identidad. En consecuencia la principal diferencia que existe entre estos conjuntos es el factor en el cual basan sus relaciones, puesto que mientras la equivalencia lo hace en relación con la Cardinalidad, la igualdad busca establecerse en relación a la identidad de sus elementos.

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