Definiciones fundamentales

De esta manera, puede que sea necesario delimitar esta revisión conceptual a tres nociones específicas: Números enteros, Números decimales y Notación científica, por ser estos respectivamente los elementos numéricos y la expresión, directamente relacionadas con este proceso destinado a determinar el producto de dos números que han sido anotados mediante potencias de 10. A continuación, cada una de estas definiciones:

Números enteros

En este sentido, se comenzará por decir que los Números enteros han sido explicados por las Matemáticas como aquellos elementos numéricos que se usarán para dar expresión escrita a cantidades enteras, o incluso a la ausencia de ellas. Estos elementos constituirán a su vez el conjunto numérico Z, en donde se encontrará contenido el conjunto de los Números naturales (N). La disciplina matemática distingue entre tres distintos tipos de números enteros:

• Enteros positivos: ellos conformarán a su vez el conjunto numérico N. Poseen signo positivo, y son empleados para expresar cantidades enteras exactas.
• Enteros negativos: por su parte, los enteros negativos se considerarán los inversos de los enteros positivos. Contarán con signo negativo, y serán empleados para indicar la ausencia de cantidades exactas.
• Cero: finalmente, el cero formará parte también de los Números enteros. Sin embargo, este no tendrá ni signo positivo ni signo negativo, puesto que no es considerado un número como tal, sino que será entendido como un elemento usado para expresar la ausencia total de cantidad.

Números decimales

Así también, puede que resulte de provecho lanzar luces sobre las definiciones de Números decimales, los cuales han sido entendidos como aquellos elementos numéricos usados para expresar cantidades fraccionarias, que constituyen números racionales o irracionales. Por igual, la disciplina matemática ha descrito a los Números decimales como aquellos elementos numéricos en donde pueden distinguirse dos parte diferentes, cada una de las cuales han sido explicadas de la siguiente manera:

• Parte entera: en primer lugar, dentro del Número decimal podrá hablarse de una parte constituida por un número entero, el cual podrá ser positivo, negativo o incluso el cero. Esta parte recibirá el nombre de Unidades, y sus elementos –al ser números pertenecientes al Sistema de Numeración Decimal- contarán con valor posicional, extendiéndose de derecha a izquierda como unidades, decenas, centenas, unidades de mil, decenas de mil, centenas de mil, etc.
• Parte decimal: por otro lado, los Números decimales podrán también contar en ellos con las Unidades incompletas, constituidas por un número menor a la unidad, el cual se encuentra ubicada en la Recta numérica entre 0 y 1. En ellos también existirá el valor posicional, y se distinguirán en ese sentido entre décimas, centésimas, milésimas, diezmilésimas, etc.

Ambas partes se encontrarán separadas, y a la vez unidad, por una coma, aun cuando hay corrientes matemáticas que prefieren usar el punto. Sin embargo, independientemente del signo escogido, a la derecha de este se anotarán las Unidades incompletas, mientras que las Unidades se dispondrán a la izquierda.

Notación científica

Finalmente, será también prudente revisar la definición que da la Matemática sobre la Notación científica, la cual es concebida como el procedimiento matemático que se lleva a cabo toda vez que se desee expresar de forma abreviada un número, bien sea entero o decimal, que resulte de gran magnitud, debido a la gran cantidad de elementos que los constituyen.

Este método, conocido también como expresión de un número mediante potencia de 10, es empleado por lo general en el ámbito científico, en donde se usa a fin de lograr mucha más facilidad a la hora de anotar datos, permitiendo a su vez ahorrar espacio o incluso reducir el margen de error al expresar cifras o hacer registro de ellas.

Con respecto a la forma en que debe ser realizada esta operación, las Matemáticas señalan que estas deberán orientarse según la naturaleza del número que se desea abreviar, teniendo entonces cada uno de los siguientes métodos:

• Si el número es entero: en caso de que se quiera abreviar un número entero, lo primero que deberá hacerse es eliminar los ceros que existan a la derecha de este elemento. Se tomará entonces la parte distinta a cero, y se considerará como un número entero, al menos que sea igual o mayor a 10, caso en el cual se deberá asumir como un decimal, cuya parte entera sí responda a este criterio. Este número se multiplicará por una potencia de base diez, la cual estará elevada a un exponente positivo, equivalente al número de lugares que debería correrse la coma o completar con ceros, a fin de obtener nuevamente el número que ha sido expresado por este método.
• Si el número es decimal: por el contrario, si se tratara de abreviar un número decimal, el procedimiento consistirá en suprimir los ceros que se han anotado a la izquierda del número diferente al cero. En segundo lugar se tomará este número, y se asumirá como entero, salvo que sea mayor a 10, en este caso igualmente se expresará como decimal, teniendo en cuenta que la parte entera debe ser mayor que 1 y menor que 10. Se multiplicará esta cifra por una potencia de 10, elevada a un exponente negativo, equivalente al número de veces que deberá correrse la coma hacia la izquierda para poder conseguir nuevamente el número que se ha abreviado.

División de números expresados mediante Notación científica

Habiendo tenido en cuenta estos conceptos, quizás ciertamente resulte mucho más sencillo aproximarse a una explicación sobre la División de números expresados mediante Notación científica, operación que puede considerarse como el procedimiento dirigido a determinar cuántas veces se encuentra contenido un número que haya tenido que expresarse por Notación científica y que haga las veces de divisor entre un número, escrito en su Notación científica, y que funja como dividendo.

En cuanto a la forma en que debe ser efectuada esta operación, las Matemáticas también señalan que esto dependerá directamente de la naturaleza de los números involucrados, encontrándose entonces los siguientes casos:

Cuando ambos números son enteros

La primera circunstancia puede plantearse entre números enteros. Sin embargo, puede que la mejor manera de expresar cuál es el procedimiento correcto que debe emplearse en este tipo de casos sea a través de un ejemplo concreto, tal como el que se muestra a continuación:

Resolver la siguiente operación: 840000000000 :  20000000000=

Al momento de iniciar la solución de la operación planteada, será necesario entonces abreviar cada uno de estos términos, a fin de llevarlos a su Notación científica:

  840000000000 → 8,4 . 10¹¹

20000000000 → 2 . 10¹⁰

Hecho esto, se deberá plantear nuevamente la operación, disponiendo los elementos de forma horizontal, y relacionándolos nuevamente con el signo de entre (:).

(8,4 . 10¹¹) :  (2 . 10¹⁰) =

Así mismo, se agruparán los elementos semejantes, teniendo por un lado los números que no se encuentran elevados a ninguna potencia, y por otro los que sí:

(8,4 : 2) . (10¹¹ : 10¹⁰) =

Acto seguido, se deberán resolver cada una de las operaciones planteadas. Los números no elevados a ningún exponente se resolverán dividiendo los elementos, según las reglas que la Matemática ha expresado en caso de dividirse un número decimal entre un número natural:

En cuanto a las potencias, su división deberá resolverse –cónsono con la propiedad de división de potencias de igual base- restando sus exponentes:

(10¹¹ : 10¹⁰) = 10^11-10 = 10¹

Finalmente, la respuesta a la operación de división podrá ser expresada de la siguiente manera:

(8,4 . 10¹¹) :  (2 . 10¹⁰) = 4,2 . 10¹

Si ambos números son decimales

También puede ocurrir que los números que se deseen dividir sean números decimales, expresados a través de su Notación científica. Para este tipo de casos deberán seguirse cada uno de los pasos que se muestran en base al ejemplo que se presenta a continuación:

Resolver la siguiente operación:  0,000000000000036 : 0,0000000006 =

En este caso, igualmente, lo primero que deberá hacerse el procedimiento de abreviatura en cada uno de los términos entre los que se establece la operación:

0,000000000000036 →  3,6 . 10^-14

0,0000000006 →  6 . 10^-10

Lo siguiente que se hará será expresar nuevamente la operación, pero ahora con los términos abreviados, mediante potencias de base 10:

(3,6 . 10^-14) : (6 . 10^-10) =

Hecho esto, se deberán agrupar los elementos que no están elevados a un exponente específico y aquellos que sí lo están:

(3,6 :  6) . (10^-14  : 10^-10) =

Por consiguiente, se resolverá cada una de las operaciones. En primer lugar, se deberá dividir el número decimal entre el número natural, según indican las Matemáticas para estos casos:

Por su parte, las potencias serán resueltas a través de la resta de sus exponentes, lo cual se hará tomando en cuenta en todo momento el signo con el que cuenta cada uno de ellos:

10^-14  : 10^-10 =

10^(-14)-(-10) =

10^-14+10 = 10^-4

Antes de expresar el resultado de la operación, se tendrá que el cociente obtenido al dividir los números que no representan una potencia no cuenta con los requisitos para expresarse como Notación científica, puesto que su parte entera no es mayor que uno. En este caso, el número debe ser convertido nuevamente a una notación científica.

0,6 → 6 . 10^-1

Esto dará lugar entonces a la siguiente situación:

(6 . 10^-1) . 10^-4

Lo cual implicará la multiplicación de las potencias de base 10. Esta operación será resuelta sumando los exponentes de las potencias de igual base, para lo que se sumarán sus exponentes, tomando en cuenta sus signos:

6 . (10^-1 . 10^-4) =

6 . (10^{(-1) + (-4)}) =

6 . 10 ^{-1 – 4} =  6 . 10^-5

Este será asumido como el resultado de la operación.

Si un número es entero, y el otro es decimal

Por último, también puede ocurrir una operación en donde un número sea entero y el otro decimal. En este caso, se deberá proceder de igual forma, dividiendo los números que no estén elevados a una potencia, y por otro lado las potencias de base 10. A continuación, el siguiente ejemplo:

Resolver la siguiente operación:  450000000000000 :  0,00000005=

450000000000000 → 4,5 . 10¹⁴

0,00000005 → 5 . 10^-8

(4,5 . 10¹⁴) :  (5 . 10^-8) =

(4,5 : 5) . (10^{(14) – (-8)}) = 0,9 . 10¹⁴⁺⁸

0,9 . 10¹⁴⁺⁸ = (9.10^-1) . 10²²

(9.10^-1) . 10²² = 9 . 10^-1+22

9 . 10^-1+22 = 9 . 10²¹

(4,5 . 10¹⁴) :  (5 . 10^-8) =  9 . 10²

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