Diferencia Simétrica

En este sentido, se puede comenzar por decir entonces que el Álgebra de Conjuntos ha definido la Diferencia Simétrica como una operación básica en donde dos o más conjuntos conforman una tercera colección, constituida por aquellos elementos que se pueden encontrar tan solo en uno de los conjuntos que participan de la operación. En otras palabras, la Diferencia Simétrica será una operación en donde un conjunto A y un conjunto B conforman un conjunto A∆B en el cual se encontrarán aquellos elementos que sólo aparecen en A pero no en B, así también como aquellos elementos que encontrándose en B no aparecen en A.

Intersección de conjuntos

Por otro lado, es importante también pasar revista sobre la Intersección de conjuntos, pues la Propiedad Distributiva de la Diferencia Simétrica se da en referencia a la Intersección. En cuanto a la definición de esta operación, el Álgebra de conjuntos ha dicho que en ella dos conjuntos A y B logran establecer un tercer conjunto A∩B en donde se pueden contar como elementos aquellos que se pueden encontrar tanto en la primera colección como en la segunda. Por ende, la Intersección dará como resultado un tercer conjunto, conformado por los elementos comunes de los conjuntos en base a los cuales se ha realizado la operación.

Ejemplos Propiedad Distributiva (Diferencia Simétrica)

Igualmente, antes de exponer aquellos casos que pueden servir de ejemplo a esta propiedad matemática, puede resultar pertinente recordar que esta reza que  siempre la Intersección de un conjunto A con la Diferencia Simétrica  de los conjuntos B y C será exactamente igual a la Diferencia Simétrica de las respectivas intersecciones que establezca el conjunto A con los conjuntos B y C, lo cual podría expresarse matemáticamente de la siguiente forma:  A ∩ (B ∆ C) = (A ∩ B) ∆ (A ∩ C). Teniendo presentes estas nociones teóricas se puede entonces avanzar sobre los ejemplos concretos de la Propiedad Distributiva de la Diferencia Simétrica con respecto a la Intersección:

Ejemplo 1

Dado un conjunto A, constituido por nombres femeninos que comiencen por la letra “l”: A= {Laura, Lucía, Luna, Lorena, Luz, Lilian}; un conjunto B, conformado por nombres femeninos que terminen en la letra “a”: B= {Tamara, Sabrina, Laura, Luna, Camila, Paola} y un conjunto C, en donde puedan contarse como elementos nombres femeninos en general: C= {Lilian, Jennifer, Paula, Elizabeth, Rebeca, Ruth, Lucía, Tamara, Camila, Laura} comprobar cómo se cumple la Propiedad Distributiva en la Diferencia Simétrica:

El primer paso para cumplir con lo solicitado será exponer la expresión matemática de esta propiedad, a fin de resolver las operaciones en ellas planteadas, y comprobar si realmente se cumplen las equivalencias que se encuentran señaladas en ella:

A= {Laura, Lucía, Luna, Lorena, Luz, Lilian}
B= {Tamara, Sabrina, Laura, Luna, Camila, Paola}
C= {Lilian, Jennifer, Paula, Elizabeth, Rebeca, Ruth, Lucía, Tamara, Camila, Laura}

A ∩ (B ∆ C) = (A ∩ B) ∆ (A ∩ C)

Primera operación: A ∩ (B ∆ C) =

B ∆ C= {Tamara, Sabrina, Laura, Luna, Camila, Paola} ∆ {Lilian, Jennifer, Paula, Elizabeth, Rebeca, Ruth, Lucía, Tamara, Camila, Laura}
B ∆ C= {Sabrina, Luna, Paola, Lilian, Jennifer, Paula, Elizabeth, Rebeca, Ruth, Lucía}

A ∩ (B ∆ C)= {Laura, Lucía, Luna, Lorena, Luz, Lilian} ∩ {Sabrina, Luna, Paola, Lilian, Jennifer, Paula, Elizabeth, Rebeca, Ruth, Lucía}
A ∩ (B ∆ C)= {Lucía, Luna, Lilian}

Segunda operación: (A ∩ B) ∆ (A ∩ C)=

A ∩ B= {Laura, Lucía, Luna, Lorena, Luz, Lilian} ∩ {Tamara, Sabrina, Laura, Luna, Camila, Paola}
A ∩ B= {Laura, Luna}

A ∩ C= {Laura, Lucía, Luna, Lorena, Luz, Lilian} ∩ {Lilian, Jennifer, Paula, Elizabeth, Rebeca, Ruth, Lucía, Tamara, Camila, Laura}
A ∩ C= {Laura, Lucía, Lilian}

(A ∩ B) ∆ (A ∩ C)= {Laura, Luna}∆ {Laura, Lucía, Lilian}
(A ∩ B) ∆ (A ∩ C)= {Luna, Lucía, Lilian}

Resueltas estas operaciones, se deberán comparar los resultados obtenidos en cada una:

A ∩ (B ∆ C)= {Lucía, Luna, Lilian}
(A ∩ B) ∆ (A ∩ C)= {Luna, Lucía, Lilian}

Al hacerlo, se comprueba que en efecto las equivalencias –aun cuando los elementos de cada conjunto no cuenten con el mismo orden, pues basta que tengan iguales elementos- que señala la Propiedad Distributiva de la Diferencia Simétrica en referencia a la Intersección se cumplen, por lo que entonces se considera también comprobada esta propiedad:

A ∩ (B ∆ C) = (A ∩ B) ∆ (A ∩ C)
{Lucía, Luna, Lilian} = {Luna, Lucía, Lilian}

Ejemplo 2

Dado un conjunto A, constituido por nombre de frutas: A= {Guayaba, Guanábana, Mandarina, Níspero, Kiwi, Fresa, Naranja}; un conjunto B, en donde pueden contarse como elementos frutas cítricas: B= {Limón, Lima, Pomelo, Toronja, Grey Fruit, Naranja, Mandarina} y un tercer conjunto, constituido por nombre de frutas que comiencen por la letra “g”: C= {Granada, Guayaba, Guanábana, Grey Fruit, Grosella, Guamacho} comprobar la Propiedad Distributiva de la Diferencia Simétrica con respecto a la Intersección:

A= {Guayaba, Guanábana, Mandarina, Níspero, Kiwi, Fresa, Naranja}
B= {Limón, Lima, Pomelo, Toronja, Grey Fruit, Naranja, Mandarina}
C= {Granada, Guayaba, Guanábana, Grey Fruit, Grosella, Guamacho}

A ∩ (B ∆ C) = (A ∩ B) ∆ (A ∩ C)

Primera operación: A ∩ (B ∆ C) =

B ∆ C= {Limón, Lima, Pomelo, Toronja, Grey Fruit, Naranja, Mandarina} ∆ {Granada, Guayaba, Guanábana, Grey Fruit, Grosella, Guamacho}
B ∆ C= {Limón, Lima, Pomelo, Toronja, Naranja, Mandarina, Granada, Guayaba, Guanábana, Grosella, Guamacho}

A ∩ (B ∆ C)= {Guayaba, Guanábana, Mandarina, Níspero, Kiwi, Fresa, Naranja} ∩ {Limón, Lima, Pomelo, Toronja, Naranja, Mandarina, Granada, Guayaba, Guanábana, Grosella, Guamacho}

A ∩ (B ∆ C)= {Guayaba, Guanábana, Mandarina, Naranja}

Segunda operación: (A ∩ B) ∆ (A ∩ C)=

A ∩ B= {Guayaba, Guanábana, Mandarina, Níspero, Kiwi, Fresa, Naranja} ∩ {Limón, Lima, Pomelo, Toronja, Grey Fruit, Naranja, Mandarina}
A ∩ B= {Mandarina, Naranja}

A ∩ C= {Guayaba, Guanábana, Mandarina, Níspero, Kiwi, Fresa, Naranja} ∩ {Granada, Guayaba, Guanábana, Grey Fruit, Grosella, Guamacho}
A ∩ C= {Guayaba, Guanábana}

(A ∩ B) ∆ (A ∩ C)=  {Mandarina, Naranja} ∆ {Guayaba, Guanábana}
(A ∩ B) ∆ (A ∩ C)=  {Mandarina, Naranja, Guayaba, Guanábana}

A ∩ (B ∆ C) = (A ∩ B) ∆ (A ∩ C)
{Guayaba, Guanábana, Mandarina, Naranja} = {Mandarina, Naranja, Guayaba, Guanábana}

Imagen: pixabay.com